Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r.
\int_{C} y d s, r(t)=\left(t^{2}, t\right) e t \in[0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} y\,ds
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t)=\big(t^{2},t\big),\qquad t\in[0,2].
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A coordenada x ao longo da curva é x(t)=t^{2}.
  • A coordenada y ao longo da curva é y(t)=t.
  • O parâmetro varia em t\in[0,2].
    A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.

Passo 2

Lembrete da fórmula e interpretação (passo-a-passo didático):
  • Para uma função escalar f(x,y) integrada em relação ao comprimento de arco ds ao longo de uma curva parametrizada por r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], vale a fórmula
\int_{C} f(x,y)\,ds \;=\; \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\|r'(t)\|\,dt.
Aqui:
  • f(x,y)=y é a função que estamos integrando.
  • r'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big) é o vetor velocidade.
  • \|r'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} é a norma do vetor velocidade, e corresponde a ds/dt.
    Aplicando isso ao nosso caso:
  • x(t)=t^{2} então x'(t)=2t.
  • y(t)=t então y'(t)=1.
    Portanto
r'(t)=\big(2t,1\big), \qquad \|r'(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4t^{2}+1}.

Passo 3

Substituindo tudo na fórmula:
\int_{C} y\,ds = \int_{0}^{2} y(t)\,\|r'(t)\|\,dt = \int_{0}^{2} t\sqrt{4t^{2}+1}\,dt.
Agora precisamos calcular a integral
\int_{0}^{2} t\sqrt{4t^{2}+1}\,dt.
Esse tipo de integral é bem adequado para a substituição u=4t^{2}+1, porque a derivada de 4t^{2}+1 é proporcional a t.

Passo 4

Fazendo a substituição:
u=4t^{2}+1 \quad\Rightarrow\quad du=8t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{8}.
Quando t=0 temos u=1. Quando t=2 temos u=4\cdot 2^{2}+1=17.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{2} t\sqrt{4t^{2}+1}\,dt = \int_{u=1}^{u=17} \sqrt{u}\,\frac{du}{8} = \frac{1}{8}\int_{1}^{17} u^{1/2}\,du.
Calcule a primitiva:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Logo
\frac{1}{8}\int_{1}^{17} u^{1/2}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Big[u^{3/2}\Big]_{1}^{17} = \frac{1}{12}\big(17^{3/2}-1^{3/2}\big).
Podemos escrever 17^{3/2}=(\sqrt{17})^{3}=17\sqrt{17}, portanto a expressão fica \dfrac{17\sqrt{17}-1}{12}.

Resposta

\dfrac{17\sqrt{17}-1}{12}

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