Calcule a integral de linha, onde
é a curva indicada ou dada pela função
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A coordenada
ao longo da curva é . - A coordenada
ao longo da curva é . - O parâmetro varia em
.
A pergunta é: calcular o valor numérico da integral de linha indicada.
Passo 2
Lembrete da fórmula e interpretação (passo-a-passo didático):
- Para uma função escalar
integrada em relação ao comprimento de arco ao longo de uma curva parametrizada por , , vale a fórmula
Aqui:
-
é a função que estamos integrando. -
é o vetor velocidade. -
é a norma do vetor velocidade, e corresponde a .
Aplicando isso ao nosso caso: -
então . -
então .
Portanto
Passo 3
Substituindo tudo na fórmula:
Agora precisamos calcular a integral
Esse tipo de integral é bem adequado para a substituição
, porque a derivada de
é proporcional a
.
Passo 4
Fazendo a substituição:
Quando
temos
. Quando
temos
.
Substituindo na integral:
Substituindo na integral:
Calcule a primitiva:
Logo
Podemos escrever
, portanto a expressão fica
.