Desenhe seis vetores (escolha os pontos) dos campos de vetores abaixo:
F(x, y)=y i+j.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar seis vetores do campo de vetores dado por \,F(x,y)=y\,\mathbf{i}+\mathbf{j}\,. Isso significa: escolher seis pontos no plano e, em cada um desses pontos, desenhar o vetor que o campo associa. As informações fornecidas são:
  • A expressão do campo: \,F(x,y)=y\,\mathbf{i}+\mathbf{j}\,.
  • É necessário escolher seis pontos (qualquer escolha) e desenhar os vetores correspondentes.

Passo 2

O que significa avaliar o campo num ponto e como desenhar o vetor:
  • Num ponto (x_0,y_0) o vetor do campo é obtido substituindo as coordenadas na fórmula. Aqui o componente horizontal é igual a y_0 e o componente vertical é igual a 1.
  • Em notação de componentes:
F(x,y)=\langle y,\,1\rangle.
  • Para desenhar o vetor no ponto (x_0,y_0):
    1. Plota-se o ponto de aplicação (x_0,y_0) no plano cartesiano.
    2. Calcula-se o vetor \langle y_0,\,1\rangle.
    3. Desenha-se uma seta que parte de (x_0,y_0) e aponta até o ponto final (x_0+y_0,\;y_0+1). Esse segmento com seta representa o vetor do campo naquele ponto.
  • Observação prática: o componente horizontal depende só de y. Então pontos com mesma coordenada y têm vetores idênticos em direção e comprimento, apenas deslocados horizontalmente se os x mudarem.

Passo 3

Escolhendo seis pontos para cobrir situações diferentes (valores de y positivos, zero e negativos, e dois pontos com mesma y para ver a invariância em x):
(0,0),\quad (1,0),\quad (0,1),\quad (1,1),\quad (0,-1),\quad (-1,2).

Passo 4

Agora avalio o campo em cada ponto e calculo o ponto final do vetor (para saber exatamente onde desenhar a ponta da seta). Para cada ponto faço passo a passo.
  1. Em (0,0):
F(0,0)=\langle 0,\,1\rangle.
Ponto final: (0+0,\;0+1)=(0,1).
Interpretação: desenhe a seta que sai de (0,0) e vai até (0,1) — um vetor vertical para cima com comprimento 1.
  1. Em (1,0):
F(1,0)=\langle 0,\,1\rangle.
Ponto final: (1+0,\;0+1)=(1,1).
Interpretação: mesmo vetor que em (0,0), só que deslocado para a base em x=1. Ou seja, seta vertical para cima de comprimento 1 partindo de (1,0).
  1. Em (0,1):
F(0,1)=\langle 1,\,1\rangle.
Ponto final: (0+1,\;1+1)=(1,2).
Interpretação: seta com componente horizontal 1 e vertical 1 partindo de (0,1); direção \ne vertical, sobe e vai para a direita.
  1. Em (1,1):
F(1,1)=\langle 1,\,1\rangle.
Ponto final: (1+1,\;1+1)=(2,2).
Interpretação: mesmo vetor que em (0,1), deslocado em x.
  1. Em (0,-1):
F(0,-1)=\langle -1,\,1\rangle.
Ponto final: (0-1,\;-1+1)=(-1,0).
Interpretação: seta que sobe (com componente vertical 1) mas tem componente horizontal -1, ou seja, vai para a esquerda e para cima.
  1. Em (-1,2):
F(-1,2)=\langle 2,\,1\rangle.
Ponto final: (-1+2,\;2+1)=(1,3).
Interpretação: seta com componente horizontal 2 e vertical 1, bem inclinada para a direita.

Passo 5

Dicas práticas para desenhar no papel (passo a passo que dá pra aplicar na prova):
  • Faça um pequeno sistema de eixos e marque uma grade (cada quadradinho = 1 unidade).
  • Para cada ponto escolhido:
    1. Marque a base (x_0,y_0).
    2. A partir desse ponto, conte y_0 quadradinhos para a direita (se y_0>0) ou para a esquerda (se y_0<0) — isso é o deslocamento horizontal do vetor.
    3. Depois conte 1 quadradinho para cima (sempre 1, porque a componente vertical é constante).
    4. Marque o ponto final e desenhe a seta da base para esse ponto final. Faça uma cabeça de seta pequena para indicar direção.
  • Se algum vetor ficar muito longo para caber no desenho, use um fator de escala comum (por exemplo, desenhar sempre com escala 1 unidade do vetor = 0,5 quadradinhos). Se usar escala, escreva a escala ao lado para não confundir.
  • Observe que pontos que compartilham a mesma y terão vetores idênticos (mesma direção e comprimento), apenas deslocados horizontalmente conforme x.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (resuma mentalmente para não perder tempo):
  • Componente horizontal = y (depende só de y).
  • Componente vertical = 1 (sempre para cima).
  • Assim vetores nunca apontam diretamente para baixo; sempre têm uma componente vertical positiva.
  • Para y>0 vetores têm tendência a apontar para a direita; para y<0 apontam para a esquerda; para y=0 são verticais.

Resposta

(0,0)\mapsto F(0,0)=\langle 0,\,1\rangle =0\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}
(1,0)\mapsto F(1,0)=\langle 0,\,1\rangle =0\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}
(0,1)\mapsto F(0,1)=\langle 1,\,1\rangle =1\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}
(1,1)\mapsto F(1,1)=\langle 1,\,1\rangle =1\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}
(0,-1)\mapsto F(0,-1)=\langle -1,\,1\rangle =-1\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}
(-1,2)\mapsto F(-1,2)=\langle 2,\,1\rangle =2\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}

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