Calcule a integral de linha, onde C é a curva indicada ou dada pela função r.
\int_{C} x^{3} y^{2} z d s, r(t)=\left(2 t, t^{2}, t^{2}\right) com t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} x^{3}y^{2}z\,ds,
onde a curva C é dada pela parametrização
r(t)=\big(2t,\;t^{2},\;t^{2}\big),\qquad t\in[0,1].
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
  • x(t)=2t.
  • y(t)=t^{2}.
  • z(t)=t^{2}.
  • O elemento de comprimento de arco é ds=|r'(t)|\,dt.
    A tarefa é substituir a parametrização na função x^{3}y^{2}z, multiplicar por |r'(t)|, e integrar em t de 0 a 1.

Passo 2

Calcular a função composição f(r(t))=x(t)^{3}y(t)^{2}z(t). Vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas:
x(t)^{3}=(2t)^{3}=8t^{3},
y(t)^{2}=(t^{2})^{2}=t^{4},
z(t)=t^{2}.
Multiplicando tudo:
f(r(t))=8t^{3}\cdot t^{4}\cdot t^{2}=8t^{9}.
Explicação curta da ideia: estou apenas substituindo as coordenadas da curva na expressão x^{3}y^{2}z e somando os expoentes de t porque são multiplicações de potências de t.

Passo 3

Calcular r'(t) e o módulo |r'(t)|, que dá ds=|r'(t)|\,dt.
Derivando componente a componente:
r'(t)=\big(2,\;2t,\;2t\big).
O módulo é
|r'(t)|=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{4+4t^{2}+4t^{2}}=\sqrt{4+8t^{2}}.
Fatorando 4 sob a raiz:
|r'(t)|=2\sqrt{1+2t^{2}}.
Justificativa: o comprimento do vetor derivada é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 4

Montar a integral em t substituindo f(r(t)) e ds:
\int_{C} x^{3}y^{2}z\,ds=\int_{0}^{1} f(r(t))\,|r'(t)|\,dt =\int_{0}^{1} \big(8t^{9}\big)\cdot\big(2\sqrt{1+2t^{2}}\big)\,dt.
Multiplicando constantes:
\int_{0}^{1} 16\,t^{9}\sqrt{1+2t^{2}}\,dt.
Explicação: simplesmente substituí e juntei os fatores constantes.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}16\,t^{9}\sqrt{1+2t^{2}}\,dt uso a substituição
u=1+2t^{2}.
Então
du=4t\,dt\quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{du}{4}.
Também preciso expressar t^{8} em função de u. Como t^{2}=\dfrac{u-1}{2}, temos
t^{8}=(t^{2})^{4}=\left(\frac{u-1}{2}\right)^{4}.
Agora reescrevo a integral: t^{9}\,dt = t^{8}\cdot t\,dt, então
\int_{0}^{1}16\,t^{9}\sqrt{1+2t^{2}}\,dt =16\int_{u(0)}^{u(1)} \left(\frac{u-1}{2}\right)^{4}\sqrt{u}\cdot\frac{du}{4}.
Os limites em u: para t=0, u=1+2\cdot0^{2}=1. Para t=1, u=1+2\cdot1^{2}=3.
Simplificando constantes: 16\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^{4}}=16\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{4}.
Logo a integral vira
\frac{1}{4}\int_{1}^{3} (u-1)^{4}\,u^{1/2}\,du.

Passo 6

Expandir (u-1)^{4} e multiplicar por u^{1/2} para integrar termo a termo.
Primeiro,
(u-1)^{4}=u^{4}-4u^{3}+6u^{2}-4u+1.
Multiplicando por u^{1/2}:
(u-1)^{4}u^{1/2}=u^{9/2}-4u^{7/2}+6u^{5/2}-4u^{3/2}+u^{1/2}.
Agora integro cada termo (lembrando \int u^{\alpha}\,du = \dfrac{u^{\alpha+1}}{\alpha+1}):
\int u^{9/2}\,du=\frac{2}{11}u^{11/2}, \qquad \int u^{7/2}\,du=\frac{2}{9}u^{9/2},
\int u^{5/2}\,du=\frac{2}{7}u^{7/2}, \qquad \int u^{3/2}\,du=\frac{2}{5}u^{5/2}, \qquad \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Usando os coeficientes:
\int (u-1)^{4}u^{1/2}\,du = \frac{2}{11}u^{11/2}-4\cdot\frac{2}{9}u^{9/2}+6\cdot\frac{2}{7}u^{7/2}-4\cdot\frac{2}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2}.
Simplificando os coeficientes:
= \frac{2}{11}u^{11/2}-\frac{8}{9}u^{9/2}+\frac{12}{7}u^{7/2}-\frac{8}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2}.
Não esqueça do fator \dfrac{1}{4} que estava fora da integral.

Passo 7

Avaliar a primitiva de u=1 a u=3. Observação útil: para u=3 temos potências semi-inteiras fáceis de escrever como múltiplos de \sqrt{3}:
3^{k+1/2}=3^{k}\sqrt{3}.
Então, para u=3,
u^{3/2}=3\sqrt{3},\quad u^{5/2}=9\sqrt{3},\quad u^{7/2}=27\sqrt{3},
u^{9/2}=81\sqrt{3},\quad u^{11/2}=243\sqrt{3}.
Calculando a diferença S(3)-S(1), onde
S(u)=\frac{2}{11}u^{11/2}-\frac{8}{9}u^{9/2}+\frac{12}{7}u^{7/2}-\frac{8}{5}u^{5/2}+\frac{2}{3}u^{3/2},
obtemos (após agrupar termos e simplificar frações) o resultado
\int_{0}^{1}16\,t^{9}\sqrt{1+2t^{2}}\,dt =\frac{1}{4}\Big( \frac{21024}{3465}\sqrt{3}-\frac{256}{3465}\Big).
Fatorando e simplificando a constante (dividindo numerador e denominador por 4) dá uma forma mais direta:
\frac{5256\sqrt{3}-64}{3465}.
Se quiser um valor aproximado (útil para conferir), numericamente isso vale aproximadamente
2{,}60885\\ \text{(aproximado)}.

Passo 8

Resumo do raciocínio final: a integral paramétrica virou uma integral em t de uma função t^{9}\sqrt{1+2t^{2}}, fiz a substituição u=1+2t^{2}, expandi e integrei termo a termo, e depois avaliei nos limites para obter a expressão exata simplificada.

Resposta

\displaystyle \frac{5256\sqrt{3}-64}{3465}
\displaystyle \approx 2{,}60885

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