Calcule a integral de linha, onde
é a curva indicada ou dada pela função
.
com
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde a curva
é dada pela parametrização
Informações relevantes que temos (retiradas do enunciado):
-
. -
. -
. - O elemento de comprimento de arco é
.
A tarefa é substituir a parametrização na função, multiplicar por , e integrar em de a .
Passo 2
Calcular a função composição
. Vou fazer isso passo a passo, sem pular etapas:
Multiplicando tudo:
Explicação curta da ideia: estou apenas substituindo as coordenadas da curva na expressão
e somando os expoentes de
porque são multiplicações de potências de
.
Passo 3
Calcular
e o módulo
, que dá
.
Derivando componente a componente:
Derivando componente a componente:
O módulo é
Fatorando
sob a raiz:
Justificativa: o comprimento do vetor derivada é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
Passo 4
Montar a integral em
substituindo
e
:
Multiplicando constantes:
Explicação: simplesmente substituí e juntei os fatores constantes.
Passo 5
Para calcular
uso a substituição
Então
Também preciso expressar
em função de
. Como
, temos
Agora reescrevo a integral:
, então
Os limites em
: para
,
. Para
,
.
Simplificando constantes:
.
Logo a integral vira
Logo a integral vira
Passo 6
Expandir
e multiplicar por
para integrar termo a termo.
Primeiro,
Primeiro,
Multiplicando por
:
Agora integro cada termo (lembrando
):
Usando os coeficientes:
Simplificando os coeficientes:
Não esqueça do fator
que estava fora da integral.
Passo 7
Avaliar a primitiva de
a
. Observação útil: para
temos potências semi-inteiras fáceis de escrever como múltiplos de
:
Então, para
,
Calculando a diferença
, onde
obtemos (após agrupar termos e simplificar frações) o resultado
Fatorando e simplificando a constante (dividindo numerador e denominador por
) dá uma forma mais direta:
Se quiser um valor aproximado (útil para conferir), numericamente isso vale aproximadamente
Passo 8
Resumo do raciocínio final: a integral paramétrica virou uma integral em
de uma função
, fiz a substituição
, expandi e integrei termo a termo, e depois avaliei nos limites para obter a expressão exata simplificada.