Determine se
é um campo vetorial conservativo. Caso seja, determine a função
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido por
As perguntas são duas:
- Determinar se
é um campo vetorial conservativo (isto é, se existe uma função potencial tal que ). - Caso seja conservativo, determinar a função
.
Vou usar que o domínio natural aqui é todo
(um conjunto aberto e simplesmente conexo), e as componentes do campo são
e
.
Passo 2
Regra prática e justificativa curta (como testar na prova). Em duas dimensões, num domínio aberto e simplesmente conexo (como
), um campo
é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais mistas forem iguais em todo o domínio:
Motivação intuitiva: se existe
tal que
, então diferenciando
em relação a
e
em relação a
obtemos
, ou seja
. Em domínios simplesmente conexos essa condição também é suficiente (é a maneira prática usada em provas).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais mistas pedidas (mostrando passo a passo as contas). Primeiro,
Em seguida,
Passo 4
Compare as duas expressões obtidas:
Essas duas funções não são idênticas em
(isto é, não coincidem para todo par
). Por exemplo, no ponto
temos
logo as derivadas mistas são diferentes naquele ponto. Como a igualdade deveria valer em todo o domínio para
ser conservativo, concluímos que
NÃO é conservativo em
.
Passo 5
Comentário didático sobre o que se faria se a condição fosse satisfeita (útil para a prova). Se por acaso tivesse dado
em todo o domínio, o método padrão para encontrar a potencial
seria:
- Integrar
em relação a : obter , onde é uma “constante” de integração que pode depender só de . - Diferenciar esta expressão em relação a
e igualar a para determinar . - Integrar
para obter e assim completa.
Esse procedimento é o que se aplica em praticamente todos os exercícios de encontrar potencial, depois de verificar a condição de exatidão.
Passo 6
Conclusão final: como a condição necessária/suficiente falha (as derivadas mistas não são iguais em
), não existe função
definida em todo
com
. Então a resposta é negativa.