Determine se F é um campo vetorial conservativo. Caso seja, determine a função f tal que \nabla f=F.
F(x, y)=\left(x e^{y}, y e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
F(x,y)=\big(P(x,y),\,Q(x,y)\big)=\big(xe^{y},\,ye^{x}\big).
As perguntas são duas:
  1. Determinar se F é um campo vetorial conservativo (isto é, se existe uma função potencial f tal que \nabla f=F).
  2. Caso seja conservativo, determinar a função f.
Vou usar que o domínio natural aqui é todo \mathbb{R}^2 (um conjunto aberto e simplesmente conexo), e as componentes do campo são P(x,y)=xe^{y} e Q(x,y)=ye^{x}.

Passo 2

Regra prática e justificativa curta (como testar na prova). Em duas dimensões, num domínio aberto e simplesmente conexo (como \mathbb{R}^2), um campo F=(P,Q) é conservativo se, e somente se, as derivadas parciais mistas forem iguais em todo o domínio:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\quad\text{em todo o domínio.}í
Motivação intuitiva: se existe f tal que \nabla f=(f_x,f_y)=(P,Q), então diferenciando P=f_x em relação a y e Q=f_y em relação a x obtemos f_{xy}=f_{yx}, ou seja \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Em domínios simplesmente conexos essa condição também é suficiente (é a maneira prática usada em provas).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais mistas pedidas (mostrando passo a passo as contas). Primeiro,
P(x,y)=xe^{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=x\frac{d}{dy}e^{y}=x e^{y}.
Em seguida,
Q(x,y)=ye^{x}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=y\frac{d}{dx}e^{x}=y e^{x}.

Passo 4

Compare as duas expressões obtidas:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=x e^{y}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=y e^{x}.
Essas duas funções não são idênticas em \mathbb{R}^2 (isto é, não coincidem para todo par (x,y)). Por exemplo, no ponto (1,0) temos
\frac{\partial P}{\partial y}(1,0)=1\cdot e^{0}=1, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(1,0)=0\cdot e^{1}=0,
logo as derivadas mistas são diferentes naquele ponto. Como a igualdade deveria valer em todo o domínio para F ser conservativo, concluímos que F NÃO é conservativo em \mathbb{R}^2.

Passo 5

Comentário didático sobre o que se faria se a condição fosse satisfeita (útil para a prova). Se por acaso tivesse dado \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo o domínio, o método padrão para encontrar a potencial f seria:
  • Integrar P em relação a x: obter f(x,y)=\displaystyle\int P(x,y)\,dx + g(y), onde g é uma “constante” de integração que pode depender só de y.
  • Diferenciar esta expressão em relação a y e igualar a Q(x,y) para determinar g'(y).
  • Integrar g'(y) para obter g(y) e assim f completa.
    Esse procedimento é o que se aplica em praticamente todos os exercícios de encontrar potencial, depois de verificar a condição de exatidão.

Passo 6

Conclusão final: como a condição necessária/suficiente falha (as derivadas mistas não são iguais em \mathbb{R}^2), não existe função f definida em todo \mathbb{R}^2 com \nabla f=F. Então a resposta é negativa.

Resposta

F não é conservativo em \mathbb{R}^2; logo não existe função f em \mathbb{R}^2 tal que \nabla f=F.

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