Determine se
é um campo vetorial conservativo. Caso seja, determine a função
tal que
.
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
definido por
O que se pede:
- Determinar se
é um campo conservativo (ou seja, se existe uma função tal que ). - Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial
tal que .
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes são
e . - O domínio natural de
é todo (polinômios estão definidos em toda parte).
Passo 2
Explicar o critério que vamos usar (passo a passo e didático):
- Se existir
com , então e . - A partir daí, pelas propriedades de derivadas parciais (teorema de Clairaut), as segundas derivadas mistas de
são iguais: . - Isso implica que, sempre que
for gradiente de alguma em um domínio onde as derivadas necessárias existem, deve valer
- Além disso, no plano, se o domínio for simplesmente conexo (por exemplo todo
é simplesmente conexo) e a igualdade acima valer em todo o domínio, então a condição é também suficiente: existe uma função potencial . - Resumo prático para a prova: calcule
e . Se forem iguais no domínio considerado (e o domínio for simplesmente conexo), o campo é conservativo; caso contrário, não é.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (vou desenvolver passo a passo as derivadas):
- Primeiro,
. Derivando em relação a ,
porque
é constante quando derivamos em relação a
, e
.
- Segundo,
. Derivando em relação a ,
porque
é constante em relação a
, e
.
Passo 4
Comparar as derivadas:
Estas duas expressões são iguais somente quando
, isto é, quando
. Mas para que
seja conservativo precisamos que a igualdade valha para todos os pontos do domínio (aqui todo
). Como
e
não são iguais em geral, a igualdade exigida não se verifica em
.
Como o domínio é todo
(que é simplesmente conexo), a condição
é necessária e suficiente; portanto, se a condição falha, não existe função potencial global
com
. Conclusão:
não é conservativo.
Passo 5
(Para reforçar: tentativa direta de construir um potencial que leva a contradição.)
- Se tentássemos integrar
em relação a para obter um candidato a ,
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Então calcularíamos
:
- Para ter
precisamos de , ou seja
Isto é impossível como igualdade para todos
, porque o termo dependente de
à esquerda é
enquanto à direita o termo dependente de
é
; não há escolha de
que faça essas duas expressões idênticas para todo
. Assim a tentativa falha, confirmando que não existe
.