Determine se F é um campo vetorial conservativo. Caso seja, determine a função f tal que \nabla f=F.
F(x, y)\left(x^{3}+4 x y, 4 x y-y^{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definido por
F(x,y)=\bigl(P(x,y),\,Q(x,y)\bigr)=\bigl(x^{3}+4xy,\;4xy-y^{3}\bigr).
O que se pede:
  • Determinar se F é um campo conservativo (ou seja, se existe uma função f tal que \nabla f=F).
  • Caso seja conservativo, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=F.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes são P(x,y)=x^{3}+4xy e Q(x,y)=4xy-y^{3}.
  • O domínio natural de F é todo \mathbb{R}^2 (polinômios estão definidos em toda parte).

Passo 2

Explicar o critério que vamos usar (passo a passo e didático):
  • Se existir f com \nabla f=F, então P=f_x e Q=f_y.
  • A partir daí, pelas propriedades de derivadas parciais (teorema de Clairaut), as segundas derivadas mistas de f são iguais: f_{xy}=f_{yx}.
  • Isso implica que, sempre que F for gradiente de alguma f em um domínio onde as derivadas necessárias existem, deve valer
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Além disso, no plano, se o domínio for simplesmente conexo (por exemplo todo \mathbb{R}^2 é simplesmente conexo) e a igualdade acima valer em todo o domínio, então a condição é também suficiente: existe uma função potencial f.
  • Resumo prático para a prova: calcule \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x. Se forem iguais no domínio considerado (e o domínio for simplesmente conexo), o campo é conservativo; caso contrário, não é.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (vou desenvolver passo a passo as derivadas):
  • Primeiro, P(x,y)=x^{3}+4xy. Derivando em relação a y,
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+4xy\bigr)=0+4x=4x,
porque x^{3} é constante quando derivamos em relação a y, e \partial(4xy)/\partial y=4x.
  • Segundo, Q(x,y)=4xy-y^{3}. Derivando em relação a x,
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(4xy-y^{3}\bigr)=4y-0=4y,
porque y^{3} é constante em relação a x, e \partial(4xy)/\partial x=4y.

Passo 4

Comparar as derivadas:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=4x,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=4y.
Estas duas expressões são iguais somente quando 4x=4y, isto é, quando x=y. Mas para que F seja conservativo precisamos que a igualdade valha para todos os pontos do domínio (aqui todo \mathbb{R}^2). Como 4x e 4y não são iguais em geral, a igualdade exigida não se verifica em \mathbb{R}^2.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo), a condição \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x é necessária e suficiente; portanto, se a condição falha, não existe função potencial global f com \nabla f=F. Conclusão: F não é conservativo.

Passo 5

(Para reforçar: tentativa direta de construir um potencial que leva a contradição.)
  • Se tentássemos integrar P em relação a x para obter um candidato a f,
f(x,y)=\int\bigl(x^{3}+4xy\bigr)\,dx=\frac{1}{4}x^{4}+2x^{2}y+C(y),
onde C(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Então calcularíamos f_y:
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{1}{4}x^{4}+2x^{2}y+C(y)\Bigr)=2x^{2}+C'(y).
  • Para ter \nabla f=F precisamos de f_y=Q, ou seja
2x^{2}+C'(y)=4xy-y^{3}.
Isto é impossível como igualdade para todos x,y, porque o termo dependente de x à esquerda é 2x^{2} enquanto à direita o termo dependente de x é 4xy; não há escolha de C'(y) que faça essas duas expressões idênticas para todo x,y. Assim a tentativa falha, confirmando que não existe f.

Resposta

F não é conservativo; portanto não existe função f em \mathbb{R}^2 tal que \nabla f=F.

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