Calcule a integral de linha integralC x y^2 d x+(x+y) d y onde C é a curva y=-x^3 da origem até o ponto (1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC x,y^2,dx + (x+y),dy
ao longo da curva C definida por y = -x^3 desde (0,0) até (1,-1). O conteúdo é integral de linha de um campo vetorial, e vamos usar parametrização de C e substituir dx e dy.

Passo 2

Parametrizamos C por
x = t, y = -t^3, tin[0,1]
Dessa forma,
dx = dt, dy = -3,t^2,dt

Passo 3

Substituímos em P,dx e Q,dy, com P(x,y)=x,y^2 e Q(x,y)=x+y:
P,dx = x,y^2,dx = tcdot(-t^3)^2,dt = t^7,dt,
Q,dy = (x+y),dy = (t - t^3)(-3,t^2,dt) = (-3t^3 + 3t^5),dt
Somando,
P,dx + Q,dy = l(-3t^3 + 3t^5 + t^7r),dt

Passo 4

Integramos de t=0 até t=1:
integral0^1l(-3t^3 + 3t^5 + t^7r),dt = l[-tfrac34t^4 + tfrac12t^6 + tfrac18t^8r]0^1 = -tfrac34 + tfrac12 + tfrac18 = -tfrac18

Resposta

-tfrac18

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