Descreva as superfícies de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função
Isso envolve entender que, para cada constante
, a superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
. Vamos usar o conceito de nível de uma função de três variáveis e interpretar geometricamente esses conjuntos.
Passo 2
Por definição, a superfície de nível correspondente ao valor
é
No nosso caso, isso significa
Passo 3
A equação
é a equação geral de um plano em
. Portanto cada superfície de nível é um plano.
Passo 4
O vetor normal a esse plano é dado pelo gradiente de
, ou seja
Isso mostra que todos esses planos são paralelos entre si e perpendiculares a
.
Passo 5
Para escrever explicitamente, podemos resolver em função de
:
Assim, para cada
, a superfície de nível é o plano inclinado que satisfaz essa relação.
Resposta
As superfícies de nível de
são os planos paralelos dados pela família
com
, todos ortogonais ao vetor normal
.