Descreva as superfícies de nível da função.
f(x, y, z)=2 x+y-2 z

Passo 1

O enunciado pede para descrever as superfícies de nível da função
f(x,y,z)=2x+y-2z
Isso envolve entender que, para cada constante c, a superfície de nível é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem f(x,y,z)=c. Vamos usar o conceito de nível de uma função de três variáveis e interpretar geometricamente esses conjuntos.

Passo 2

Por definição, a superfície de nível correspondente ao valor cinR é
(x,y,z)inR^3 mid f(x,y,z)=c
No nosso caso, isso significa
2x + y - 2z = c

Passo 3

A equação
2x + y - 2z = c
é a equação geral de um plano em R^3. Portanto cada superfície de nível é um plano.

Passo 4

O vetor normal a esse plano é dado pelo gradiente de f, ou seja
nabla f = l(2,,1,,-2r)
Isso mostra que todos esses planos são paralelos entre si e perpendiculares a nabla f.

Passo 5

Para escrever explicitamente, podemos resolver em função de z:
-2z = c - 2x - y Longrightarrow z = 2x + y - c2
Assim, para cada c, a superfície de nível é o plano inclinado que satisfaz essa relação.

Resposta

As superfícies de nível de f são os planos paralelos dados pela família
2x + y - 2z = c,
com cinR, todos ortogonais ao vetor normal nabla f=(2,1,-2).

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