Calcule a integral de linha integralC(x^2+x y) d x+(y^2-x y) d y onde C é a curva que vai da origem ao ponto (2,0) pelo eixo x a do ponto (2,0) ao ponto (2,2) pela reta x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC(x^2+x y) dx + (y^2-x y) dy
onde a curva C vai da origem (0,0) até o ponto (2,0) pelo eixo x , e depois de (2,0) até (2,2) pela reta x = 2 .
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos dividir o caminho C em duas partes menores, calcular a integral em cada parte e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte da curva C1 , que vai de (0,0) até (2,0) pelo eixo x .
Parametrização de C1 :
Como estamos movendo apenas ao longo do eixo x , y permanece constante em 0. Podemos definir um parâmetro t que varia de 0 a 2:
x = t onde 0 <= t <= 2
y = 0
Calculando dx e dy :
Derivando em relação a t :
dx = dt
dy = 0
Substituindo na integral:
Substituímos x e y na integral original:
integralC1 (x^2 + x y) dx + (y^2 - x y) dy = integral0^2 (t^2 + t cdot 0) dt + integral0^2 (0^2 - t cdot 0) cdot 0 dt
Simplificando:
integral0^2 t^2 dt + 0 = [t^33]0^2 = 83 - 0 = 83

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da curva C2 , que vai de (2,0) até (2,2) pela reta x = 2 .
Parametrização de C2 :
Aqui, x permanece constante em 2, e apenas y varia de 0 a 2. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 2:
x = 2
y = t onde 0 <= t <= 2
Calculando dx e dy :
Derivando em relação a t :
dx = 0
dy = dt
Substituindo na integral:
Substituímos x e y na integral original:
integralC2 (x^2 + x y) dx + (y^2 - x y) dy = integral0^2 (2^2 + 2 cdot t) cdot 0 dt + integral0^2 (t^2 - 2 t) dt
Simplificando:
0 + integral0^2 (t^2 - 2t) dt = [t^33 - t^2]0^2 = (83 - 4) - (0 - 0) = 83 - 4 = 83 - 123 = -43

Resposta

Somando as integrais das duas partes:
83 + (-43) = 43
Então, o valor da integral de linha é 43.

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