Calcule a integral de linha
onde
é a curva que vai da origem ao ponto
pelo eixo
a do ponto
ao ponto
pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
vai da origem
até o ponto
pelo eixo
, e depois de
até
pela reta
.
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de linha. Para resolver, vamos dividir o caminho
em duas partes menores, calcular a integral em cada parte e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte da curva
, que vai de
até
pelo eixo
.
Parametrização de
:
Como estamos movendo apenas ao longo do eixo
,
permanece constante em 0. Podemos definir um parâmetro
que varia de 0 a 2:
Calculando
e
:
Derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte da curva
, que vai de
até
pela reta
.
Parametrização de
:
Aqui,
permanece constante em 2, e apenas
varia de 0 a 2. Vamos usar um parâmetro
que varia de 0 a 2:
Calculando
e
:
Derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando:
Resposta
Somando as integrais das duas partes:
Então, o valor da integral de linha é
.