Mostre que as integrais de linha abaixo são independentes do caminho e calcule o seu valor
integralC y d x+x d y onde C é uma curva ligando o ponto A(1,4) ao ponto B(3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha integralC y, dx + x, dy não depende do caminho escolhido entre os pontos A(1,4) e B(3,2). Isso tá ligado ao estudo de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Pra resolver, vamos verificar se essa integral é independente do caminho e, se for, calcular o valor dela usando uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial associado é conservativo, ou seja, existe uma função potencial f(x, y) tal que:
partial fpartial x = y e partial fpartial y = x
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais.

Passo 3

Calculando as derivadas cruzadas:
partialpartial y(partial fpartial x) = partial ypartial y = 1
partialpartial x(partial fpartial y) = partial xpartial x = 1
Como as duas derivadas são iguais ( 1 = 1), o campo é conservativo. Então, a integral de linha é independente do caminho.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Sabemos que:
partial fpartial x = y implies f(x, y) = yx + g(y)
Onde g(y) é uma função só de y. Agora, usando partial fpartial y = x:
partialpartial y(yx + g(y)) = x + g'(y) = x
Isso implica que g'(y) = 0, então g(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C, mas como estamos buscando uma função potencial, podemos ignorar a constante.
Então, a função potencial é:
f(x, y) = x y

Passo 5

Pra calcular a integral de linha entre os pontos A(1,4) e B(3,2), usamos a diferença dos valores da função potencial nesses pontos:
integralC y, dx + x, dy = f(B) - f(A) = (3 times 2) - (1 times 4) = 6 - 4 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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