Mostre que as integrais de linha abaixo são independentes do caminho e calcule o seu valor
onde
é uma curva ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha
não depende do caminho escolhido entre os pontos
e
. Isso tá ligado ao estudo de campos conservativos na matéria de cálculo vetorial. Pra resolver, vamos verificar se essa integral é independente do caminho e, se for, calcular o valor dela usando uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral de linha ser independente do caminho. Isso acontece quando o campo vetorial associado é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
tal que:
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos checar se as derivadas parciais cruzadas são iguais.
Passo 3
Calculando as derivadas cruzadas:
Como as duas derivadas são iguais (
), o campo é conservativo. Então, a integral de linha é independente do caminho.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Onde
é uma função só de
. Agora, usando
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
, mas como estamos buscando uma função potencial, podemos ignorar a constante.
Então, a função potencial é:
Passo 5
Pra calcular a integral de linha entre os pontos
e
, usamos a diferença dos valores da função potencial nesses pontos:
Resposta
O valor da integral é
.