Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e aplicar um teste apropriado para determinar isso. Vamos precisar entender sobre o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como os termos da série se comportam quando
fica bem grande. Olhando para
, percebemos que, para
grande, o
domina o “+1”, então podemos simplificar aproximadamente para
.
Passo 3
Agora, com essa simplificação, nossa série se parece com
. Sabemos que
é a série harmônica, que é famosa por divergir. Como
é apenas uma constante multiplicando a série harmônica,
também diverge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Comparação. Sabemos que
. Então, temos que comparar nossa série com
.
Passo 5
Como
é uma série harmônica que diverge, e nossos termos
são maiores ou iguais a
, pelo Teste da Comparação, nossa série
também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Teste da Comparação.