Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty n2 n^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a série sumn=1^infty n2 n^2+1 converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e aplicar um teste apropriado para determinar isso. Vamos precisar entender sobre o Teste da Comparação, que ajuda a comparar nossa série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como os termos da série se comportam quando n fica bem grande. Olhando para n2n^2 + 1, percebemos que, para n grande, o 2n^2 domina o “+1”, então podemos simplificar aproximadamente para n2n^2 = 12n.

Passo 3

Agora, com essa simplificação, nossa série se parece com sumn=1^infty 12n. Sabemos que sumn=1^infty 1n é a série harmônica, que é famosa por divergir. Como 12n é apenas uma constante multiplicando a série harmônica, sumn=1^infty 12n também diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Comparação. Sabemos que n2n^2 + 1 >= n2n^2 + n^2 = n3n^2 = 13n. Então, temos que comparar nossa série com sumn=1^infty 13n.

Passo 5

Como sumn=1^infty 13n é uma série harmônica que diverge, e nossos termos n2n^2 + 1 são maiores ou iguais a 13n, pelo Teste da Comparação, nossa série sumn=1^infty n2n^2 + 1 também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n2 n^2+1 diverge pelo Teste da Comparação.

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