Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty(pi4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(pi4)^n converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries infinitas e testes de convergência. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender qual teste de convergência é mais apropriado para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a forma da série: temos uma soma infinita onde cada termo é (pi4)^n. Isso parece uma progressão geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.

Passo 3

Em uma progressão geométrica infinita, a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se |r| < 1. Se |r| >= 1, a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, a razão r é pi4. Vamos calcular o valor absoluto dessa razão:
|pi4| = pi4 approx 3,144 approx 0,785
Como 0,785 < 1, a condição para convergência é satisfeita.

Passo 5

Portanto, aplicando o teste da série geométrica, concluímos que a série sumn=1^infty(pi4)^n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(pi4)^n converge pelo teste da série geométrica.

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