Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é sobre séries infinitas e testes de convergência. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender qual teste de convergência é mais apropriado para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a forma da série: temos uma soma infinita onde cada termo é . Isso parece uma progressão geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante.
Passo 3
Em uma progressão geométrica infinita, a série converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, se . Se , a série diverge.
Passo 4
No nosso caso, a razão é . Vamos calcular o valor absoluto dessa razão:
Como 0,785 < 1, a condição para convergência é satisfeita.
Passo 5
Portanto, aplicando o teste da série geométrica, concluímos que a série sumn=1^infty(pi4)^nconverge.
Resposta
A série sumn=1^infty(pi4)^nconverge pelo teste da série geométrica.