Calcule a integral de linha
onde
é definida pela curva
, no intervalo
. (Podeis identificar o campo vetorial
e
.
(Resposta:
.
(Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
definida por
para
no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha de um campo vetorial.
Passo 2
Parametrização da Curva:
A curva
está parametrizada por
. Isso significa que, para cada valor de
, temos um ponto na curva:
Derivada da Parametrização:
Precisamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Substituindo na Integral de Linha:
A integral de linha de
ao longo de
é dada por:
Onde
e
.
Calculando
:
Substituímos
,
e
na função
:
Simplificando o terceiro componente:
Então,
Passo 4
Produto Escalar
:
Vamos calcular o produto escalar dos vetores
e
:
Simplificando termo a termo:
Observamos que os dois primeiros termos se cancelam:
Então sobra:
Passo 5
Integrando:
Agora, a integral de linha fica:
Vamos resolver essa integral. Podemos utilizar a substituição u = sin(t), então du = cos(t)dt.
Substituição:
A integral se torna:
Calculando os Limites:
Avaliamos de
a
:
Sabemos que
, pois o seno tem período
.
Então,
Resposta
A integral de linha avaliada é
.