Calcule a integral de linha
integralC sin (z) d x+cos (z) d y-raiz[3]x y d z
onde C é definida pela curva C: r(t)=(cos ^3(t), sin ^3(t), t), no intervalo t in[0,7 pi / 2]. (Podeis identificar o campo vetorial F(x, y, z)=(sin (z), cos (z),-raiz[3]x y) e d r=(d x, d y, d z)=d rd t d t= r^prime(t) d t).
(Resposta: integralC F cdot d r=integral0^7 pi / 2 F(r(t)) cdot r^prime(t) d t=-12).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (sin(z), cos(z), -raiz[3]xy) ao longo da curva C definida por r(t) = (cos^3(t), sin^3(t), t) para t no intervalo [0, 7pi2]. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Parametrização da Curva:
A curva C está parametrizada por r(t) = (cos^3(t), sin^3(t), t). Isso significa que, para cada valor de t, temos um ponto na curva:
x(t) = cos^3(t), y(t) = sin^3(t), z(t) = t
Derivada da Parametrização:
Precisamos encontrar r,'(t), que é a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = ( -3cos^2(t)sin(t), 3sin^2(t)cos(t), 1 )

Passo 3

Substituindo na Integral de Linha:
A integral de linha de F ao longo de C é dada por:
integralC F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt
Onde a = 0 e b = 7pi2.
Calculando F(r(t)):
Substituímos x(t), y(t) e z(t) na função F:
F(r(t)) = ( sin(t), cos(t), -raiz[3]cos^3(t) cdot sin^3(t) ) = ( sin(t), cos(t), -raiz[3]cos^3(t)sin^3(t) )
Simplificando o terceiro componente:
-raiz[3]cos^3(t)sin^3(t) = -cos(t)sin(t)
Então,
F(r(t)) = (sin(t), cos(t), -cos(t)sin(t))

Passo 4

Produto Escalar F(r(t)) cdot r,'(t):
Vamos calcular o produto escalar dos vetores F(r(t)) e r,'(t):
F(r(t)) cdot r,'(t) = sin(t) cdot (-3cos^2(t)sin(t)) + cos(t) cdot (3sin^2(t)cos(t)) + (-cos(t)sin(t)) cdot 1
Simplificando termo a termo:
= -3cos^2(t)sin^2(t) + 3sin^2(t)cos^2(t) - cos(t)sin(t)
Observamos que os dois primeiros termos se cancelam:
-3cos^2(t)sin^2(t) + 3sin^2(t)cos^2(t) = 0
Então sobra:
F(r(t)) cdot r,'(t) = -cos(t)sin(t)

Passo 5

Integrando:
Agora, a integral de linha fica:
integral0^7pi2 -cos(t)sin(t) , dt
Vamos resolver essa integral. Podemos utilizar a substituição u = sin(t), então du = cos(t)dt.
Substituição:
u = sin(t) Rightarrow du = cos(t)dt
A integral se torna:
integral -u , du = -u^22 + C = -sin^2(t)2 + C
Calculando os Limites:
Avaliamos de t = 0 a t = 7pi2:
-sin^2(7pi2)2 + sin^2(0)2 = -sin^2(7pi2)2
Sabemos que sin(7pi2) = sin(pi2 + 3pi) = sin(pi2) = 1, pois o seno tem período 2pi.
Então,
-1^22 = -12

Resposta

A integral de linha avaliada é -dfrac12.

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