Calcule
, onde
é formada:
pelo arco
da parábola
de
a
, seguido de um segmento de reta
de
a
.
pelo arco
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral
, onde
é composto por duas partes: primeiro, o arco
da parábola
indo de
até
, e depois, um segmento de reta
de
até
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha, que nos permite calcular integrais ao longo de curvas no plano. Precisamos parametrizar cada parte da curva
, calcular o elemento de comprimento diferencial
para cada uma e, em seguida, integrar
em cada segmento.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte da curva,
, que é o arco da parábola
de
a
. Para parametrizar essa curva, podemos usar
como parâmetro. Assim, definimos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento diferencial
para
. A fórmula para
em termos do parâmetro
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, configuramos a integral sobre
:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos definir
, então:
Expressando
em termos de
:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Calculando:
Passo 5
Vamos agora para a segunda parte da curva,
, que é o segmento de reta de
a
. Para parametrizar essa reta, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Passo 6
Encontramos o elemento de comprimento diferencial
para
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 7
Configuramos a integral sobre
:
Expandindo
:
Então,
Calculando cada integral:
Resposta
A integral
vale
.