Calcule integralC x^3 d s, onde C é formada:
pelo arco C1 da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1), seguido de um segmento de reta C2 de (1,1) a (2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral integralC x^3 ds, onde C é composto por duas partes: primeiro, o arco C1 da parábola y = x^2 indo de (0,0) até (1,1), e depois, um segmento de reta C2 de (1,1) até (2,2). Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais de linha, que nos permite calcular integrais ao longo de curvas no plano. Precisamos parametrizar cada parte da curva C, calcular o elemento de comprimento diferencial ds para cada uma e, em seguida, integrar x^3 ds em cada segmento.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte da curva, C1, que é o arco da parábola y = x^2 de (0,0) a (1,1). Para parametrizar essa curva, podemos usar x como parâmetro. Assim, definimos:
x = t onde t in [0,1]
y = t^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de comprimento diferencial ds para C1. A fórmula para ds em termos do parâmetro t é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 2t
Então,
ds = raiz1^2 + (2t)^2 , dt = raiz1 + 4t^2 , dt

Passo 4

Agora, configuramos a integral sobre C1:
integralC1 x^3 ds = integral0^1 t^3 raiz1 + 4t^2 , dt
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos definir u = 1 + 4t^2, então:
du = 8t , dt Rightarrow t , dt = du8
Expressando t^3 em termos de u:
t^2 = u - 14 Rightarrow t^3 = t cdot t^2 = t cdot u - 14
Substituindo na integral:
integralC1 x^3 ds = integralu=1^u=5 (u - 1)4 cdot raizu cdot du8 = 132 integral1^5 (u - 1)u^1/2 , du
Integrando termo a termo:
132 [ integral1^5 u^3/2 , du - integral1^5 u^1/2 , du ] = 132 [ ( 25 u^5/2 )1^5 - ( 23 u^3/2 )1^5 ]
Calculando:
= 132 [ 25(5^5/2 - 1) - 23(5^3/2 - 1) ]

Passo 5

Vamos agora para a segunda parte da curva, C2, que é o segmento de reta de (1,1) a (2,2). Para parametrizar essa reta, podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1:
x = 1 + t onde t in [0,1]
y = 1 + t

Passo 6

Encontramos o elemento de comprimento diferencial ds para C2:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 1
dydt = 1
Então,
ds = raiz1^2 + 1^2 , dt = raiz2 , dt

Passo 7

Configuramos a integral sobre C2:
integralC2 x^3 ds = integral0^1 (1 + t)^3 raiz2 , dt = raiz2 integral0^1 (1 + t)^3 , dt
Expandindo (1 + t)^3:
(1 + t)^3 = 1 + 3t + 3t^2 + t^3
Então,
integralC2 x^3 ds = raiz2 [ integral0^1 1 , dt + 3 integral0^1 t , dt + 3 integral0^1 t^2 , dt + integral0^1 t^3 , dt ]
Calculando cada integral:
= raiz2 [ 1 + 32 + 1 + 14 ] = raiz2 ( 44 + 64 + 44 + 14 ) = raiz2 cdot 154 = 15raiz24

Resposta

A integral integralC x^3 ds vale 15raiz24.

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