Calcule
, onde
é formada:
pela elipse
.
pela elipse
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral
, onde
é uma elipse definida pela equação
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente para curvas paramétricas. Precisamos parametrizar a elipse e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a elipse. A equação da elipse é
. Podemos usar a parametrização trigonométrica padrão para elipses:
onde
varia de
a
para percorrer toda a elipse.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a expressão para
, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
O comprimento de arco
é dado por:
Passo 4
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral original:
Esse tipo de integral pode ser complicado de resolver analiticamente, mas observando a simetria da função
e da função dentro da raiz, percebemos que a integral de
sobre um período completo de
a
é zero, pois a função é ímpar em relação a
.
Resposta
Portanto,
.