Calcule integralC x^3 d s, onde C é formada:
pela elipse x^24+y^29=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral integralC x^3 , d s, onde C é uma elipse definida pela equação x^24+y^29=1. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais de linha, especificamente para curvas paramétricas. Precisamos parametrizar a elipse e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a elipse. A equação da elipse é x^24+y^29=1. Podemos usar a parametrização trigonométrica padrão para elipses:
x = 2 cos t y = 3 sin t
onde t varia de 0 a 2pi para percorrer toda a elipse.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a expressão para ds, que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = -2 sin t dydt = 3 cos t
O comprimento de arco ds é dado por:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt = raiz(-2 sin t)^2 + (3 cos t)^2 , dt = raiz4 sin^2 t + 9 cos^2 t , dt

Passo 4

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
4 sin^2 t + 9 cos^2 t = 4(1 - cos^2 t) + 9 cos^2 t = 4 - 4 cos^2 t + 9 cos^2 t = 4 + 5 cos^2 t
Portanto, temos:
ds = raiz4 + 5 cos^2 t , dt

Passo 5

Agora, substituímos x e ds na integral original:
integralC x^3 , ds = integral0^2pi (2 cos t)^3 raiz4 + 5 cos^2 t , dt = 8 integral0^2pi cos^3 t raiz4 + 5 cos^2 t , dt
Esse tipo de integral pode ser complicado de resolver analiticamente, mas observando a simetria da função cos^3 t e da função dentro da raiz, percebemos que a integral de cos^3 t sobre um período completo de 0 a 2pi é zero, pois a função é ímpar em relação a t = pi.

Resposta

Portanto, integralC x^3 , d s = 0.

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