Calcule a massa de uma curva dada pelo arco superior de uma circunferência de raio igual a 2 , cuja densidade linear é dada por
rho(r)=rho(x, y, z)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma curva com densidade linear rho(vec r)=x^2+y^2, onde a curva C é o arco superior da circunferência de raio 2. Para resolver, usamos a definição de massa de uma curva:
M=integralC rho,ds
Vamos parametrizar o arco e calcular essa integral.

Passo 2

Parametrizamos C por
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t, tin[0,pi]
Então
dxdt=-2sin t, dydt=2cos t
e o elemento de comprimento é
ds=raizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2,dt =raiz4sin^2t+4cos^2t,dt=2,dt

Passo 3

Na parametrização, a densidade fica
rho(x(t),y(t))=(2cos t)^2+(2sin t)^2 =4(cos^2t+sin^2t)=4
Assim a integral de massa é
M=integral0^pi rho(x(t),y(t)),ds =integral0^pi 4cdot2,dt

Passo 4

Calculamos
M=integral0^pi 8,dt =8l[tr]0^pi =8pi

Resposta

8pi

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