Calcule a massa de um helicóide
cuja densidade linear é dada por
rho(r)=rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a massa de um helicóide definido pelas equações paramétricas:
A densidade linear é dada por:
Vamos usar cálculo integral aplicado a curvas no espaço para achar a massa total desse helicóide.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a massa de uma curva com densidade linear
rho é dada pela integral ao longo da curva:
Como temos as equações parametrizadas em termos de
t , vamos expressar essa integral em função de
t .
Passo 3
Precisamos achar o elemento de comprimento
ds em termos de
t . A fórmula é:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula de
ds :
Passo 5
Agora, vamos expressar a densidade
rho em termos de
t :
Passo 6
Substituindo
rho(t) e
ds na integral para a massa:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da massa:
Resposta
A massa do helicóide é: