Calcule a massa de um helicóide
l x(t)=2 cos (t) y(t)=2 sin (t) z(t)=2 t, 0 <= t <= 2 pi
cuja densidade linear é dada por
rho(r)=rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a massa de um helicóide definido pelas equações paramétricas:
l x(t)=2 cos (t) y(t)=2 sin (t) z(t)=2 t, 0 <= t <= 2 pi
A densidade linear é dada por:
rho(x, y, z)=x^2+y^2+z^2
Vamos usar cálculo integral aplicado a curvas no espaço para achar a massa total desse helicóide.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a massa de uma curva com densidade linear rho é dada pela integral ao longo da curva:
m = integralC rho(s) , ds
Como temos as equações parametrizadas em termos de t, vamos expressar essa integral em função de t.

Passo 3

Precisamos achar o elemento de comprimento ds em termos de t. A fórmula é:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
dxdt = -2 sin(t) dydt = 2 cos(t) dzdt = 2

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula de ds:
ds = raiz(-2 sin t)^2 + (2 cos t)^2 + (2)^2 , dt = raiz4 sin^2 t + 4 cos^2 t + 4 , dt = raiz4(sin^2 t + cos^2 t) + 4 , dt = raiz4(1) + 4 , dt = raiz8 , dt = 2 raiz2 , dt

Passo 5

Agora, vamos expressar a densidade rho em termos de t:
rho(t) = x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = (2 cos t)^2 + (2 sin t)^2 + (2 t)^2 = 4 cos^2 t + 4 sin^2 t + 4 t^2 = 4(cos^2 t + sin^2 t) + 4 t^2 = 4(1) + 4 t^2 = 4 + 4 t^2 = 4(1 + t^2)

Passo 6

Substituindo rho(t) e ds na integral para a massa:
m = integral0^2 pi rho(t) , ds = integral0^2 pi 4(1 + t^2) cdot 2 raiz2 , dt = 8 raiz2 integral0^2 pi (1 + t^2) , dt

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral0^2 pi (1 + t^2) , dt = integral0^2 pi 1 , dt + integral0^2 pi t^2 , dt = [ t ]0^2 pi + [ t^33 ]0^2 pi = 2 pi + 8 pi^33

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da massa:
m = 8 raiz2 ( 2 pi + 8 pi^33 ) = 16 raiz2 pi + 64 raiz2 pi^33

Resposta

A massa do helicóide é:
m = 16 raiz2 pi (1 + 4 pi^23 )

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