(1,1) Calcule a integral de linha
integralC(y^2 d x+x d y),
onde C é o quadrado de vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1) orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralC l(y^2,dx + x,dyr) ao longo do quadrado com vértices em (0,0),(1,0),(1,1),(0,1), percorrido no sentido anti-horário. Esse tipo de integral de linha de um campo vetorial está no capítulo de Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de contorno numa integral dupla na região interna ao caminho.

Passo 2

Identificamos o campo vetorial F(x,y) = (P,Q) = (y^2,,x). Pelo Teorema de Green, temos:
ointC P,dx + Q,dy = !!integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA,
onde D é o interior do quadrado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x)partial x = 1, partial Ppartial y = partial (y^2)partial y = 2y
Logo, o integrando fica 1 - 2y.

Passo 4

Agora fazemos a integral dupla sobre o quadrado D = [0,1]times[0,1]:
integral duplaD (1 - 2y) ,dA = integral0^1 integral0^1 (1 - 2y) ,dx,dy
Integramos primeiro em x:
integral0^1 (1 - 2y) ,dx = (1 - 2y) ,[x]0^1 = 1 - 2y
Depois em y:
integral0^1 (1 - 2y) ,dy = [y - y^2]0^1 = 1 - 1 = 0

Resposta

0

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