Calcule a integral de linha
onde
é o quadrado de vértices
e
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo do quadrado com vértices em
, percorrido no sentido anti-horário. Esse tipo de integral de linha de um campo vetorial está no capítulo de Teorema de Green, que nos permite transformar a integral de contorno numa integral dupla na região interna ao caminho.
Passo 2
Identificamos o campo vetorial
. Pelo Teorema de Green, temos:
onde
é o interior do quadrado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Logo, o integrando fica
.
Passo 4
Agora fazemos a integral dupla sobre o quadrado
:
Integramos primeiro em
:
Depois em
:
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