As seguintes integrais representam o volume de um sólido de revolução. Faça um esboço desse sólido
.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e diz que isso é o volume de um sólido obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo
. O conteúdo é “volume de revolução” usando o método dos discos, e para esboçar o sólido precisamos identificar a curva geratriz e o intervalo de rotação.
Passo 2
A curva geratriz é
para
. Nesse intervalo,
cresce de
até
, ficando sempre acima do eixo
. Ao girar o gráfico dessa curva em torno do eixo
, cada valor
gera um disco de raio
.
Passo 3
Em termos de fatias: para cada
fixo, o elemento de volume é
o que coincide com o integrando. O sólido resultante tem vértice “fechado” em
(onde
) e abre suavemente até um círculo de raio
em
.
Passo 4
Para esboçar:
. Desenhe os eixos cartesianos, com o eixo
horizontal e o eixo
vertical.
. Trace a curva
de
(onde toca o eixo em
) até
(onde atinge
).
. Imagine girar esse arco em torno do eixo
; o contorno superior gera uma superfície que começa num ponto em
, alarga gradualmente e atinge raio
em
.
Em
D, o sólido é parecido com um “bule” invertido ou gomo de laranja, com base circular de raio
em
e vértice em
.
Resposta
Esboço do sólido de revolução gerado pela rotação de
,
, em torno do eixo
:
(
D) (
D aproximado)
y\mid \quad
\mid _/_
───\bullet\ (\pi/2,1) \quad__/__
\mid \ _/_
\mid \ /\
\mid \ | |
\mid \ \ /
─\sqcup───────\bullet\ (0,0)─────────────\quad__\\\to\ x
\quad__ _/
\quad________/
y\mid \quad
\mid _/_
\mid \ _/_
\mid \ /\
\mid \ | |
\mid \ \ /
\quad________/