As seguintes integrais representam o volume de um sólido de revolução. Faça um esboço desse sólido
pi integral0^pi / 2 sin ^2(x) d x.

Passo 1

O enunciado dá a integral
V = pi integral0^pi/2 sin^2(x),dx
e diz que isso é o volume de um sólido obtido pela rotação de uma curva em torno do eixo x. O conteúdo é “volume de revolução” usando o método dos discos, e para esboçar o sólido precisamos identificar a curva geratriz e o intervalo de rotação.

Passo 2

A curva geratriz é
y = sin(x),
para 0 <= x <= pi/2. Nesse intervalo, sin(x) cresce de 0 até 1, ficando sempre acima do eixo x. Ao girar o gráfico dessa curva em torno do eixo x, cada valor x gera um disco de raio y=sin(x).

Passo 3

Em termos de fatias: para cada x fixo, o elemento de volume é
dV = pi,[raio]^2dx = pil(sin(x)r)^2dx,
o que coincide com o integrando. O sólido resultante tem vértice “fechado” em x=0 (onde sin(0)=0) e abre suavemente até um círculo de raio 1 em x=pi/2.

Passo 4

Para esboçar:
1. Desenhe os eixos cartesianos, com o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
2. Trace a curva y=sin(x) de x=0 (onde toca o eixo em y=0) até x=pi/2 (onde atinge y=1).
3. Imagine girar esse arco em torno do eixo x; o contorno superior gera uma superfície que começa num ponto em x=0, alarga gradualmente e atinge raio 1 em x=pi/2.
Em 3D, o sólido é parecido com um “bule” invertido ou gomo de laranja, com base circular de raio 1 em x=pi/2 e vértice em x=0.

Resposta

Esboço do sólido de revolução gerado pela rotação de y=sin(x), 0<= x<=pi/2, em torno do eixo x:
( 2D) ( 3D aproximado)
y\mid \quad
\mid _/_
1 ───\bullet\ (\pi/2,1) \quad__/__
\mid \ _/_
\mid \ /\
\mid \ | |
\mid \ \ /
0 ─\sqcup───────\bullet\ (0,0)─────────────\quad__\\\to\ x
0pi/2 \quad__ _/
\quad________/

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