Reescreva a função f(x) como sendo um polinômio somado a um quociente em que o numerador tenha grau menor que o denominador:
f(x)=x^5-3 x^4+x-1x^2+4

Passo 1

Então, a questão pede pra reescrever a função f(x)=x^5-3x^4+x-1x^2+4 como um polinômio somado a um quociente em que o numerador tenha grau menor que o denominador. Isso é divisão de polinômios: vamos dividir x^5-3x^4+ x -1 por x^2+4, usando divisão longa.

Passo 2

Primeiro, dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor: x^5/x^2 = x^3. Multiplicamos e subtraímos para atualizar o resto:

Passo 3

Multiplicação:

Passo 4

x^3 cdot (x^2+4) = x^5 + 4x^3

Passo 5

Subtração:

Passo 6

(x^5 - 3x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x -1) - (x^5 + 4x^3) = -3x^4 - 4x^3 + 0x^2 + x -1

Passo 7

Agora, dividimos o novo termo de maior grau -3x^4 por x^2, obtendo -3x^2. Multiplicamos e subtraímos:

Passo 8

Multiplicação:

Passo 9

-3x^2 cdot (x^2+4) = -3x^4 - 12x^2

Passo 10

Subtração:

Passo 11

(-3x^4 - 4x^3 + 0x^2 + x -1) - (-3x^4 - 12x^2) = -4x^3 + 12x^2 + x -1

Passo 12

Em seguida, dividimos -4x^3 por x^2, dando -4x. Multiplicamos e subtraímos:

Passo 13

Multiplicação:

Passo 14

-4x cdot (x^2+4) = -4x^3 - 16x

Passo 15

Subtração:

Passo 16

(-4x^3 + 12x^2 + x -1) - (-4x^3 - 16x) = 12x^2 + 17x -1

Passo 17

Por fim, dividimos 12x^2 por x^2, resultando em 12. Multiplicamos e subtraímos para achar o resto:

Passo 18

Multiplicação:

Passo 19

12 cdot (x^2+4) = 12x^2 + 48

Passo 20

Subtração:

Passo 21

(12x^2 + 17x -1) - (12x^2 + 48) = 17x - 49

Passo 22

O resto 17x-49 tem grau menor que o divisor. Portanto, o quociente é x^3 - 3x^2 - 4x + 12 e o resto é 17x - 49.

Resposta

f(x)=x^3-3x^2-4x+12+17x-49x^2+4

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