Calcule a integral de linha
integralC f d s
onde f(x, y)=x+y e C é o segmento de reta do ponto (0,0) ao ponto (2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC f , ds, onde a função f(x, y) = x + y e C é o segmento de reta que vai do ponto (0,0) até o ponto (2,2). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em caminhos, especificamente para trajetórias lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o caminho C. Como C é uma reta que vai de (0,0) a (2,2), podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1 para representar essa trajetória. Assim, temos:
x(t) = 0 + 2t = 2t
y(t) = 0 + 2t = 2t
Aqui, t vai de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a diferencial de arco ds. Para isso, usamos a fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = 2
dydt = 2
Substituindo na expressão de ds:
ds = raiz2^2 + 2^2 , dt = raiz4 + 4 , dt = raiz8 , dt = 2raiz2 , dt

Passo 4

Agora, vamos substituir f(x, y) na parametrização. Sabemos que:
f(x, y) = x + y = 2t + 2t = 4t
Portanto, a integral fica:
integralC f , ds = integral0^1 4t cdot 2raiz2 , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da integral:
integral0^1 4t cdot 2raiz2 , dt = 8raiz2 integral0^1 t , dt
Agora, calculamos a integral de t em relação a t:
integral t , dt = t^22
Aplicando os limites:
8raiz2 [ t^22 ]0^1 = 8raiz2 ( 12 - 0 ) = 8raiz2 cdot 12 = 4raiz2

Resposta

A integral de linha integralC f , ds é igual a 4raiz2.

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