Calcule a integral de linha
onde
e
é o segmento de reta do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a função
e
é o segmento de reta que vai do ponto
até o ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais em caminhos, especificamente para trajetórias lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o caminho
. Como
é uma reta que vai de
a
, podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1 para representar essa trajetória. Assim, temos:
Aqui,
vai de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a diferencial de arco
. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na parametrização. Sabemos que:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da integral:
Agora, calculamos a integral de
em relação a
:
Aplicando os limites:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.