Determine a equação da curva sabendo que a média das tangentes em um ponto qualquer é igual a soma das coordenadas do mesmo ponto (P(x, y))

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma curva. A condição que a gente recebe é que a média das tangentes em qualquer ponto dessa curva é igual à soma das coordenadas desse ponto, ou seja, para um ponto P(x, y) , a média das tangentes é x + y . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, já que estamos lidando com tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “média das tangentes”. Aqui, vamos interpretar a tangente como a derivada da função, ou seja, dydx . Como é uma média, podemos pensar que temos uma média entre dydx e sua inversa dxdy . Então, a média delas seria:
dydx + dxdy2 = x + y

Passo 3

Vamos chamar dydx de p . Assim, temos:
p + 1p2 = x + y
Multiplicando os dois lados por 2 para simplificar:
p + 1p = 2(x + y)

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por p para eliminar a fração:
p^2 + 1 = 2p(x + y)
Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática em p :
p^2 - 2(x + y)p + 1 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática para p usando a fórmula de Bhaskara:
p = 2(x + y) pm raiz4(x + y)^2 - 42
Simplificando dentro da raiz:
p = (x + y) pm raiz(x + y)^2 - 1

Passo 6

Agora, sabemos que p = dydx , então temos:
dydx = (x + y) pm raiz(x + y)^2 - 1
Essa é uma equação diferencial que precisa ser resolvida para encontrar y em termos de x .

Passo 7

Para simplificar, vamos considerar apenas uma das soluções, digamos:
dydx = (x + y) + raiz(x + y)^2 - 1
Essa equação ainda é complexa, mas podemos tentar separar as variáveis ou usar uma substituição adequada para resolvê-la. No entanto, sem uma condição inicial específica, a solução geral fica dependente de integrais mais avançadas.

Resposta

A equação da curva é dada pela solução da equação diferencial dydx = (x + y) pm raiz(x + y)^2 - 1 , que relaciona a derivada de y em relação a x com as coordenadas do ponto (x, y) .

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