Determine a equação da curva sabendo que a média das tangentes em um ponto qualquer é igual a soma das coordenadas do mesmo ponto
Passo 1
Então, a gente tem um problema onde precisa encontrar a equação de uma curva. A condição que a gente recebe é que a média das tangentes em qualquer ponto dessa curva é igual à soma das coordenadas desse ponto, ou seja, para um ponto
, a média das tangentes é
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas, já que estamos lidando com tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “média das tangentes”. Aqui, vamos interpretar a tangente como a derivada da função, ou seja,
. Como é uma média, podemos pensar que temos uma média entre
e sua inversa
. Então, a média delas seria:
Passo 3
Vamos chamar
de
. Assim, temos:
Multiplicando os dois lados por 2 para simplificar:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Rearranjando a equação para formar uma equação quadrática em
:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Agora, sabemos que
, então temos:
Essa é uma equação diferencial que precisa ser resolvida para encontrar
em termos de
.
Passo 7
Para simplificar, vamos considerar apenas uma das soluções, digamos:
Essa equação ainda é complexa, mas podemos tentar separar as variáveis ou usar uma substituição adequada para resolvê-la. No entanto, sem uma condição inicial específica, a solução geral fica dependente de integrais mais avançadas.
Resposta
A equação da curva é dada pela solução da equação diferencial
, que relaciona a derivada de
em relação a
com as coordenadas do ponto
.