Dados vetores
e constantes
, mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que, dado dois vetores
e
no espaço tridimensional
, o produto escalar de
com o produto vetorial
é zero, ou seja:
E também que:
Pra resolver isso, vamos lembrar algumas coisas sobre produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Isso significa que qualquer vetor perpendicular a
ou
terá um produto escalar igual a zero com
.
Passo 3
Vamos provar a primeira igualdade:
.
Sabemos que
é perpendicular a
. Então, o produto escalar de
com um vetor perpendicular a ele é sempre zero. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda igualdade:
.
Da mesma forma,
também é perpendicular a
. Assim, o produto escalar de
com esse vetor perpendicular também é zero:
Resposta
Portanto, mostramos que: