Dados vetores u, v, w, x in R^3 e constantes a, b in R, mostre que:
u cdot(u times v)=0 e v cdot(u times v)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar que, dado dois vetores u e v no espaço tridimensional R^3, o produto escalar de u com o produto vetorial u times v é zero, ou seja:
u cdot (u times v) = 0
E também que:
v cdot (u times v) = 0
Pra resolver isso, vamos lembrar algumas coisas sobre produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o produto vetorial u times v resulta em um vetor que é perpendicular tanto a u quanto a v. Isso significa que qualquer vetor perpendicular a u ou v terá um produto escalar igual a zero com u times v.

Passo 3

Vamos provar a primeira igualdade: u cdot (u times v) = 0.
Sabemos que u times v é perpendicular a u. Então, o produto escalar de u com um vetor perpendicular a ele é sempre zero. Portanto:
u cdot (u times v) = 0

Passo 4

Agora, vamos para a segunda igualdade: v cdot (u times v) = 0.
Da mesma forma, u times v também é perpendicular a v. Assim, o produto escalar de v com esse vetor perpendicular também é zero:
v cdot (u times v) = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
u cdot (u times v) = 0 e v cdot (u times v) = 0

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