Calcule a integral de linha em relação a s ao longo da curva c.
integralc 11+x cdot d s
C: r(t)=t cdot i+23 cdot t^32 cdot j (0 <= t <= 3)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC11+x,ds
onde a curva C é parametrizada por
r(t)=l(t,tfrac23t^3/2r), 0<= t<=3
Para resolver, usamos a fórmula
integralCf(x,y),ds =integrala^bfl(r(t)r),llvert r'(t)rrvert,dt

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
r'(t) =l(1,;tfracddt(tfrac23t^3/2)r) =(1,;t^1/2)
Logo a norma é
llvert r'(t)rrvert =raiz1+(t^1/2)^2 =raiz1+t

Passo 3

Substituindo em integralCtfrac11+x,ds:
integral0^311+t,raiz1+t,dt =integral0^3raiz1+t1+t,dt =integral0^31raiz1+t,dt

Passo 4

Fazemos a mudança de variável u=1+t, du=dt. Quando t=0 temos u=1 e quando t=3 temos u=4. Assim
integral0^31raiz1+t,dt =integral1^4u^-1/2,du =l[2,u^1/2r]1^4 =2,(2-1) =2

Resposta

2

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