Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) x y^3raizx^2+y^4. Esse tipo de limite envolve duas variáveis, x e y, e queremos ver o que acontece com a expressão quando (x, y) se aproxima de (0,0).
Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe ou não quando temos mais de uma variável. A ideia é ver se o resultado do limite é o mesmo, independente do caminho que a gente escolhe para chegar em (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum padrão. A função que estamos analisando é:
x y^3raizx^2+y^4
Vamos observar o numerador x y^3 e o denominador raizx^2+y^4. Queremos ver como esses dois se comportam conforme (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 3

Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é verificar diferentes caminhos que levam a (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples, como:
  1. Caminho y = 0:
    Substituindo y = 0 na expressão:
x cdot 0^3raizx^2+0^4 = 0|x| = 0
Então, ao longo de y = 0, o limite é 0.
  1. Caminho x = 0:
    Substituindo x = 0 na expressão:
0 cdot y^3raiz0^2+y^4 = 0y^2 = 0
Então, ao longo de x = 0, o limite também é 0.

Passo 4

Agora, vamos escolher um caminho mais complicado para ver se o limite ainda é 0. Vamos tentar o caminho , onde é uma constante.
Substituindo na expressão:
Agora, ao fazermos , , então o limite é 0.

Passo 5

Para ter certeza de que o limite é realmente 0, vamos considerar uma abordagem mais geral usando desigualdades.
Vamos aplicar a desigualdade do módulo:
| x y^3raizx^2 + y^4 | <= |x| cdot |y|^3raizx^2 = |x| cdot |y|^3|x| = |y|^3
Como (x, y) (0,0), |y|^3 0. Portanto, por essa desigualdade, o limite da função em módulo é pelo menos 0, e não pode ser negativo, então o limite geral é 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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