Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite . Esse tipo de limite envolve duas variáveis, e , e queremos ver o que acontece com a expressão quando se aproxima de .
Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se o limite existe ou não quando temos mais de uma variável. A ideia é ver se o resultado do limite é o mesmo, independente do caminho que a gente escolhe para chegar em .
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para ver se conseguimos identificar algum padrão. A função que estamos analisando é:
Vamos observar o numerador e o denominador . Queremos ver como esses dois se comportam conforme se aproxima de .
Passo 3
Uma estratégia comum para limites de funções de duas variáveis é verificar diferentes caminhos que levam a e ver se o limite é o mesmo em todos eles. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Vamos testar alguns caminhos simples, como:
Caminho :
Substituindo na expressão:
Então, ao longo de , o limite é 0.
Caminho :
Substituindo na expressão:
Então, ao longo de , o limite também é 0.
Passo 4
Agora, vamos escolher um caminho mais complicado para ver se o limite ainda é 0. Vamos tentar o caminho , onde é uma constante.
Substituindo na expressão:
Agora, ao fazermos , , então o limite é 0.
Passo 5
Para ter certeza de que o limite é realmente 0, vamos considerar uma abordagem mais geral usando desigualdades.
Vamos aplicar a desigualdade do módulo:
Como (x, y) (0,0), |y|^3 0. Portanto, por essa desigualdade, o limite da função em módulo é pelo menos 0, e não pode ser negativo, então o limite geral é 0.