Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar se o limite existe ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Olha só o numerador:
. Podemos fatorar o
aí:
Agora, o denominador:
. Vamos rearranjar os termos para facilitar:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
. Uma maneira de verificar se o limite existe é ver se o valor do limite é o mesmo quando a gente se aproxima pelo eixo
e pelo eixo
.
Pela direção do eixo
(
):
Substituindo
na função:
Então, o limite pelo eixo
é 0.
Passo 4
Pela direção do eixo
(
):
Substituindo
na função:
Então, o limite pelo eixo
também é 0.
Passo 5
Pela direção
, onde
é uma constante:
Substituindo
na função:
Esse limite depende do valor de
. Se escolhemos diferentes valores de
, obtemos diferentes resultados.
Passo 6
Como o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
, isso significa que não existe um único valor para o limite. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe porque ele depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.