Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o limite da função xy - 2yx^2 + y^2 - 4x + 4 quando o ponto (x, y) se aproxima de (2, 0). Para isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar se o limite existe ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão do limite. Olha só o numerador: xy - 2y. Podemos fatorar o y aí:
xy - 2y = y(x - 2)
Agora, o denominador: x^2 + y^2 - 4x + 4. Vamos rearranjar os termos para facilitar:
x^2 - 4x + y^2 + 4 = (x^2 - 4x + 4) + y^2 = (x - 2)^2 + y^2
Então, nossa função fica:
y(x - 2)(x - 2)^2 + y^2

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando (x, y) se aproxima de (2, 0). Uma maneira de verificar se o limite existe é ver se o valor do limite é o mesmo quando a gente se aproxima pelo eixo x e pelo eixo y.
Pela direção do eixo x ( y = 0):
Substituindo y = 0 na função:
0(x - 2)(x - 2)^2 + 0 = 0
Então, o limite pelo eixo x é 0.

Passo 4

Pela direção do eixo y ( x = 2):
Substituindo x = 2 na função:
y(2 - 2)(2 - 2)^2 + y^2 = 00 + y^2 = 0
Então, o limite pelo eixo y também é 0.

Passo 5

Pela direção y = k(x - 2), onde k é uma constante:
Substituindo y = k(x - 2) na função:
k(x - 2)(x - 2)(x - 2)^2 + [k(x - 2)]^2 = k(x - 2)^2(x - 2)^2(1 + k^2) = k1 + k^2
Esse limite depende do valor de k. Se escolhemos diferentes valores de k, obtemos diferentes resultados.

Passo 6

Como o limite depende do caminho que a gente escolhe para se aproximar de (2, 0), isso significa que não existe um único valor para o limite. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe porque ele depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (2, 0).

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