Calcule a integral de linha
integralgamma x y d x+(y^2-x^2) d y
nos seguintes casos.
gamma é o círculo de raio r>0 e centro C=(1,0) percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha da forma diferencial
integralgamma x,y,dx + l(y^2-x^2r),dy
onde gamma é o círculo de raio r>0 e centro em C=(1,0), percorrido no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Green para converter a integral de linha numa integral dupla sobre o disco D limitado por gamma.

Passo 2

Identificamos o campo vetorial F=(P,Q) com
P(x,y)=x,y, Q(x,y)=y^2-x^2
Para aplicar Green, calculamos
partial Qpartial x = partialpartial xl(y^2-x^2r) = -2x, partial Ppartial y = partialpartial y(x,y) = x
Logo o rotacional (em 2D) é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -2x - x = -3x

Passo 3

Pelo Teorema de Green, a integral de linha no sentido anti-horário vale
integralgammaP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA = integral duplaD(-3x),dA

Passo 4

O domínio D é o disco de raio r centrado em (1,0). A integral de x sobre D é o produto da área do disco pelo abscissa do centro (que é 1), isto é,
integral duplaD x,dA = 1 cdot l(área de Dr) = 1 cdot pi r^2 = pi r^2 á
Portanto
integral duplaD(-3x),dA = -3 ,integral duplaDx,dA = -3,pi r^2

Resposta

-3pi r^2

Exercícios relacionados