(a) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.
(b) Expresse a área superficial de um cubo como uma função de seu volume.

Passo 1

Beleza, vamos resolver duas partes aqui. Primeiro, vamos calcular a área de um triângulo equilátero em função do comprimento de um lado. Depois, vamos descobrir como expressar a área superficial de um cubo com base no seu volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria básica e usar algumas fórmulas matemáticas simples.

Passo 2

Começando pela parte (a), um triângulo equilátero é aquele que tem todos os três lados iguais. Para encontrar a área desse triângulo, a gente precisa de uma fórmula específica. A fórmula geral para a área de um triângulo é Área = base times a<ura2 Á, mas como todos os lados são iguais, a gente pode simplificar isso.

Passo 3

Primeiro, vamos chamar o comprimento de um lado de l . Em um triângulo equilátero, a altura pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras. Se você dividir o triângulo ao meio, você cria dois triângulos retângulos. A altura será um dos catetos, e metade do lado l2 será o outro cateto. A hipotenusa será l .

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
a<ura^2 + ( l2 )^2 = l^2
Resolvendo para a altura:
a<ura^2 = l^2 - ( l2 )^2 = l^2 - l^24 = 3l^24
Então,
a<ura = l raiz32

Passo 5

Agora que temos a altura, podemos calcular a área do triângulo equilátero:
Área = base times a<ura2 = l times l raiz322 = l^2 raiz34 Á

Passo 6

Passando para a parte (b), queremos expressar a área superficial de um cubo em função do seu volume. Vamos lembrar que um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado.

Passo 7

Primeiro, vamos chamar o volume do cubo de V . Sabemos que o volume de um cubo é dado por:
V = l^3
Onde l é o comprimento de uma aresta do cubo. Para encontrar l em função de V , basta fazer:
l = raiz[3]V

Passo 8

A área superficial de um cubo é a soma das áreas das 6 faces. Como cada face é um quadrado com área l^2 , a área total é:
Área Superficial = 6l^2 Á

Passo 9

Substituindo l pela expressão em termos de V :
Área Superficial = 6 ( raiz[3]V )^2 = 6 V^23 Á

Resposta

(a) A área de um triângulo equilátero em função do comprimento do lado l é l^2 raiz34 .
(b) A área superficial de um cubo em função do seu volume V é 6 V^23 .

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