(a) Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.
(b) Expresse a área superficial de um cubo como uma função de seu volume.
(b) Expresse a área superficial de um cubo como uma função de seu volume.
Passo 1
Beleza, vamos resolver duas partes aqui. Primeiro, vamos calcular a área de um triângulo equilátero em função do comprimento de um lado. Depois, vamos descobrir como expressar a área superficial de um cubo com base no seu volume. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria básica e usar algumas fórmulas matemáticas simples.
Passo 2
Começando pela parte (a), um triângulo equilátero é aquele que tem todos os três lados iguais. Para encontrar a área desse triângulo, a gente precisa de uma fórmula específica. A fórmula geral para a área de um triângulo é
, mas como todos os lados são iguais, a gente pode simplificar isso.
Passo 3
Primeiro, vamos chamar o comprimento de um lado de
. Em um triângulo equilátero, a altura pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras. Se você dividir o triângulo ao meio, você cria dois triângulos retângulos. A altura será um dos catetos, e metade do lado
será o outro cateto. A hipotenusa será
.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Resolvendo para a altura:
Então,
Passo 5
Agora que temos a altura, podemos calcular a área do triângulo equilátero:
Passo 6
Passando para a parte (b), queremos expressar a área superficial de um cubo em função do seu volume. Vamos lembrar que um cubo tem 6 faces iguais, e cada face é um quadrado.
Passo 7
Primeiro, vamos chamar o volume do cubo de
. Sabemos que o volume de um cubo é dado por:
Onde
é o comprimento de uma aresta do cubo. Para encontrar
em função de
, basta fazer:
Passo 8
A área superficial de um cubo é a soma das áreas das 6 faces. Como cada face é um quadrado com área
, a área total é:
Passo 9
Substituindo
pela expressão em termos de
:
Resposta
(a) A área de um triângulo equilátero em função do comprimento do lado
é
.
(b) A área superficial de um cubo em função do seu volume
é
.