Calcule a integral de linha
integralgamma x y d x+(y^2-x^2) d y
nos seguintes casos.
gamma é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma x,y,dx + l(y^2-x^2r),dy
onde gamma é o círculo unitário x^2+y^2=1 parametrizado no sentido horário.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região que ela encerro.

Passo 2

Identificamos o campo vetorial F=(P,Q) com
P(x,y)=x,y, Q(x,y)=y^2-x^2
Como F não é necessariamente conservativo (pois partial P/partial yneq partial Q/partial x), aplicamos Green. Para uma curva orientada positivamente (sentido anti-horário),
ointgammarm ccwP,dx+Q,dy =integral duplaDgl(partial Qpartial x-partial Ppartial ygr)dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partial,(y^2-x^2)partial x=-2x, partial Ppartial y =partial,(x,y)partial y=x
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y =-2x - x = -3x
Então
ointgammarm ccwP,dx+Q,dy =integral duplax^2+y^2<=1(-3x),dA

Passo 4

A função -3x é ímpar em x e a região x^2+y^2<=1 é simétrica em relação ao eixo y. Assim
integral duplax^2+y^2<=1(-3x),dA = 0
Portanto a integral para a curva orientada no sentido anti-horário é zero. Como o enunciado quer o sentido horário (inverso do anti-horário), basta trocar o sinal:
ointgammarm cwP,dx+Q,dy = -,ointgammarm ccwP,dx+Q,dy = -0 = 0

Resposta

0

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