Calcule a integral de linha
nos seguintes casos.
é o círculo unitário parametrizado no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o círculo unitário
parametrizado no sentido horário.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região que ela encerro.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada a uma integral dupla sobre a região que ela encerro.
Passo 2
Identificamos o campo vetorial
com
Como
não é necessariamente conservativo (pois
), aplicamos Green. Para uma curva orientada positivamente (sentido anti-horário),
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Então
Passo 4
A função
é ímpar em
e a região
é simétrica em relação ao eixo
. Assim
Portanto a integral para a curva orientada no sentido anti-horário é zero. Como o enunciado quer o sentido horário (inverso do anti-horário), basta trocar o sinal: