Calcule a integral de linha
integralgamma x d y-y d xx^2+y^2
nos seguintes casos. Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais (GPT, etc).
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
integral d t1+cos ^2 t=raiz22 arctan (tan (t) raiz22)
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando 1 /(1+ cos ^2 t ) não tenha restrições. Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
integral0^2 pi d t1+cos ^2 t=raiz2 pi
gamma é o caminho definido pelo quadrado A B C D tendo os vértices A=(1,0), B=(0,1), C=(-1,0), D=(0,-1).

Passo 1

O enunciado pede
integralgammax,dy - y,dxx^2+y^2
onde gamma é o quadrado de vértices A=(1,0)to B=(0,1)to C=(-1,0)to D=(0,-1)to A, percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver, vamos parametrizar cada lado por tin[0,1], calcular a integral em um deles e mostrar que todos dão o mesmo valor. Depois somamos os quatro resultados.

Passo 2

Considere o lado AB:
x=1-t, y=t, tin[0,1]Longrightarrow dx=-dt, dy=dt
Então
x,dy - y,dx = (1-t),dt - t(-dt) = dt
e
x^2+y^2=(1-t)^2+t^2=1-2t+2t^2
A integral sobre AB fica
IAB=integral0^1dt1-2t+2t^2

Passo 3

Para calcular
integral0^1dt1-2t+2t^2,
completamos o quadrado no denominador:
1-2t+2t^2=2l((t-tfrac12)^2+tfrac14r)
Logo
integral0^1dt1-2t+2t^2 =12integral0^1dt(t-tfrac12)^2+(tfrac12)^2 =12cdot1tfrac12l[arctan!l(tfract-tfrac12tfrac12r)r]0^1 =l[arctan(u)r]u=-1^u=1 =pi4-l(-tfracpi4r) =pi2
Portanto IAB=pi/2.

Passo 4

Pelos mesmos cálculos de parametrização (que levam sempre a integral0^1dt/(1-2t+2t^2)), cada um dos quatro lados AB, BC, CD e DA pi/2. Soma total:
integralgammax,dy - y,dxx^2+y^2 =4cdotpi2 =2pi

Resposta

2pi

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