Calcule a integral de linha
nos seguintes casos. Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais (GPT, etc).
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando
) não tenha restrições. Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
é o caminho definido pelo quadrado
tendo os vértices
,
.
Passo 1
O enunciado pede
onde
é o quadrado de vértices
, percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver, vamos parametrizar cada lado por , calcular a integral em um deles e mostrar que todos dão o mesmo valor. Depois somamos os quatro resultados.
Para resolver, vamos parametrizar cada lado por
Passo 2
Considere o lado
:
Então
e
A integral sobre
fica
Passo 3
Para calcular
completamos o quadrado no denominador:
Logo
Portanto
.
Passo 4
Pelos mesmos cálculos de parametrização (que levam sempre a
), cada um dos quatro lados
,
,
e
dá
. Soma total: