Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) e^x^2 y-1y^3

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)e^x^2y-1y^3,
que é um limite de função de duas variáveis. Para ver se esse limite existe, vamos testar caminhos distintos em que (x,y)to(0,0) e verificar se o valor é sempre o mesmo.

Passo 2

Caminho y=x. Substituindo y=x na expressão, temos
e^x^2cdot x-1x^3 =e^x^3-1x^3
Como xto0, usamos a expansão e^t-1sim t para tto0 com t=x^3, logo
e^x^3-1x^3;longrightarrow;1

Passo 3

Caminho y=x^2. Substituindo y=x^2,
e^x^2cdot x^2-1(x^2)^3 =e^x^4-1x^6
Para xto0, de novo e^x^4-1sim x^4, então
e^x^4-1x^6 simx^4x^6 =1x^2,
que diverge para +infty quando xto0.

Passo 4

Como pelo caminho y=x o limite vale 1 e pelo caminho y=x^2 ele diverge, o valor não é único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados