Considere o campo de vetores
. Calcule o rotacional de
e a integral
Obs.
.
A curva
, positivamente orientada,'é a interseção da esfera
com o cilindro
e contida na região
.
A curva
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas: calcular o rotacional
pela fórmula
pela fórmula
e depois avaliar a integral de linha
ao longo da curva
que é a interseção da esfera
com o cilindro
, na parte
, orientada positivamente.
Passo 2
Calcular cada componente de
.
Logo
Passo 3
Parametrizamos
. Como
e
com
, temos
com
indo de
a
. Logo
Passo 4
Substituindo em
,
temos
temos
e
anula o termo com
. Assim
Mas
e
,
logo a integral vale .
logo a integral vale