Considere o campo de vetores X(x, y, z)=(L, M, N)=(x^2 y, y^2 z,-z^2 x). Calcule o rotacional de rot(X)=(A, B, C) e a integral
integralgamma rot(X) cdot d p=integralgamma A d x+B d y+C d z, d p=(d x, d y, d z)
Obs. rot(X)=(Ny-Mz, Lz-Nx, Mx-Ly).
A curva gamma, positivamente orientada,'é a interseção da esfera x^2+y^2+ z^2=1 com o cilindro a^2=(x^2+y^2) e contida na região z>0.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
X(x,y,z) = (L,M,N) = l(x^2y,;y^2z,;-z^2xr)
e pede duas coisas: calcular o rotacional
rot(X) = (A,B,C)
pela fórmula
rot(X) = l(Ny-Mz,;Lz-Nx,;Mx-Lyr),
e depois avaliar a integral de linha
integralgamma rot(X)cdot d p =integralgammaA,dx + B,dy + C,dz
ao longo da curva gamma que é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o cilindro x^2+y^2=a^2, na parte z>0, orientada positivamente.

Passo 2

Calcular cada componente de rot(X).
A = Ny-Mz = partial(-z^2x)partial y ;-;partial(y^2z)partial z = 0 - y^2 = -,y^2,
B = Lz-Nx = partial(x^2y)partial z ;-;partial(-z^2x)partial x = 0 - (-,z^2) = z^2,
C = Mx-Ly = partial(y^2z)partial x ;-;partial(x^2y)partial y = 0 - x^2 = -,x^2
Logo
rot(X) = l(-y^2,;z^2,;-x^2r)

Passo 3

Parametrizamos gamma. Como x^2+y^2=a^2 e x^2+y^2+z^2=1 com z>0, temos
x = acos t, y = asin t, z = raiz1-a^2 ;=; h,
com t indo de 0 a 2pi. Logo
dx = -asin t,dt, dy = acos t,dt, dz = 0

Passo 4

Substituindo em
integral0^2pil[-y^2,dx + z^2,dy - x^2,dzr],
temos
-y^2,dx = -l(asin tr)^2l(-asin t,dtr) = a^3sin^3 t,dt,
z^2,dy = h^2l(acos t,dtr) = a,h^2cos t,dt,
e ,dz=0 anula o termo com x^2. Assim
integralgammarot(X)cdot dp =integral0^2pil(a^3sin^3 t + a,h^2cos tr),dt
Mas
integral0^2pisin^3 t,dt =0 e integral0^2picos t,dt=0,
logo a integral vale 0.

Resposta

rot(X)=l(-y^2,;z^2,;-x^2r)
integralgammarot(X)cdot dp = 0

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