Considere o campo de vetores
. Calcule o rotacional de
e a integral
Obs.
.
A curva
, positivamente orientada,'é a interseção do plano
com o parabolóide
, orientada positivamente.
A curva
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional de X(x,y,z) = (L,M,N) = (x^2y, y^2z, -z^2x) e em seguida avaliar a integral de linha
, onde
é a curva fechada dada pela interseção do plano
com o paraboloide
, orientada positivamente. Vamos precisar usar a definição de rotacional, o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície e técnicas de mudança de variáveis para avaliar a integral numa região elíptica.
Passo 2
Calculamos primeiro o rotacional usando
:
Portanto,
Passo 3
Pela definição da integral de linha temos
Como
é o contorno de uma região
no plano
, aplicamos o Teorema de Stokes com
:
Passo 4
Calculamos então o rotacional de
:
Passo 5
No plano
temos como vetor normal unitário escolhido na direção
. Logo
A integral de superfície fica
Passo 6
Substituindo
obtemos o integrando
A região projetada
no plano
é a elipse definida por
ou, completando quadrados,
Passo 7
Fazemos a mudança de variáveis
. Então
é a elipse
centrada em
. O integrando se torna
e as integrais de
e
sobre
dão zero por simetria. Portanto
Passo 8
A área de
é
Logo a integral final é