Considere o campo de vetores X(x, y, z)=(L, M, N)=(x^2 y, y^2 z,-z^2 x). Calcule o rotacional de rot(X)=(A, B, C) e a integral
integralgamma rot(X) cdot d p=integralgamma A d x+B d y+C d z, d p=(d x, d y, d z)
Obs. rot(X)=(Ny-Mz, Lz-Nx, Mx-Ly).
A curva gamma, positivamente orientada,'é a interseção do plano x+y+z=a com o parabolóide z=k1 x^2+y^2, k1>0, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional de X(x,y,z) = (L,M,N) = (x^2y, y^2z, -z^2x) e em seguida avaliar a integral de linha ointgamma rot(X)cdot d p, onde gamma é a curva fechada dada pela interseção do plano x+y+z=a com o paraboloide z=k1x^2+y^2, orientada positivamente. Vamos precisar usar a definição de rotacional, o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície e técnicas de mudança de variáveis para avaliar a integral numa região elíptica.

Passo 2

Calculamos primeiro o rotacional usando rot(X)=(Ny-Mz, Lz-Nx, Mx-Ly):
Ny=0, Mz=partialz(y^2z)=y^2
Lz=0, Nx=partialx(-z^2x)=-z^2
Mx=0, Ly=partialy(x^2y)=x^2
Portanto,
rot(X)=(-y^2,;z^2,;-x^2)

Passo 3

Pela definição da integral de linha temos
ointgamma rot(X)cdot d p=ointgamma (-y^2,dx + z^2,dy - x^2,dz)
Como gamma é o contorno de uma região S no plano x+y+z=a, aplicamos o Teorema de Stokes com F=rot(X):
ointgamma Fcdot dp=integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS

Passo 4

Calculamos então o rotacional de F=(-y^2,z^2,-x^2):
nablatimes F = (partialy(-x^2)-partialz(z^2),;partialz(-y^2)-partialx(-x^2),;partialx(z^2)-partialy(-y^2))
= (0-2z,;0-(-2x),;0-(-2y)) =(-2z,2x,2y)

Passo 5

No plano x+y+z=a temos como vetor normal unitário escolhido na direção (1,1,1). Logo
n=(1,1,1)/raiz3, z=a-x-y, dS=raiz3,dx,dy
A integral de superfície fica
integral duplaS(-2z,2x,2y)cdot n,dS =integral duplaD 2(x+y-z)raiz3,raiz3,dx,dy =integral duplaD 2(a-2z),dx,dy

Passo 6

Substituindo z=a-x-y obtemos o integrando
2(a-2(a-x-y))= -2a+4x+4y
A região projetada D no plano xy é a elipse definida por
k1x^2+y^2+x+y-a<=0
ou, completando quadrados,
k1l(x+tfrac12k1r)^2+(y+tfrac12)^2<= a+tfrac14k1+tfrac14=R^2

Passo 7

Fazemos a mudança de variáveis u=x+1/(2k1),;v=y+1/2. Então D' é a elipse
u^2R^2/k1+v^2R^2<=1
centrada em (0,0). O integrando se torna
-2a+4(x+y)=4u+4v-l(2a+2/k1+2r)
e as integrais de u e v sobre D' dão zero por simetria. Portanto
ointgamma rot(X)cdot dp = -l(2a+tfrac2k1+2r)times Área(D') Á

Passo 8

A área de D' é
piraizR^2k1raizR^2=pi R^2raizk1, R^2=a+tfrac14k1+tfrac14
Logo a integral final é
-l(2a+tfrac2k1+2r)piraizk1l(a+tfrac14k1+tfrac14r)

Resposta

rot(X)=(-y^2,,z^2,,-x^2) e
ointgamma rot(X)cdot dp = -piraizk1l(2a+tfrac2k1+2r)l(a+tfrac14k1+tfrac14r)

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