Calcule a integral de linha
nos seguintes casos. Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais (GPT, etc).
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando
) não tenha restrições. Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
é o caminho definido pelo quadrilátero
tendo os vértices
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o quadrilátero fechado que passa por
O conteúdo envolve formas diferenciais em
e a ideia de variação do ângulo polar
.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
.
Então
Então
e
Logo o integrando fica
Isso significa que a integral é exatamente a variação total de
ao percorrer
.
Passo 3
Como
é um caminho fechado em
e o quadrilátero não envolve o ponto
, o ângulo polar retorna ao valor inicial sem completar volta em torno da origem. Em outras palavras, o número de voltas (winding number) de
em torno de
é zero, portanto a variação total de
é zero.
Resposta
0