Calcule a integral de linha
integralgamma x d y-y d xx^2+y^2
nos seguintes casos. Obs. Nos casos i) e iv) as funções a serem integradas possuem primitivas em termos de funções “elementares”, mas cuidado se for usar recursos simbólicos computacionais (GPT, etc).
Por exemplo, usando recursos simbólicos encontramos
integral d t1+cos ^2 t=raiz22 arctan (tan (t) raiz22)
Veja que o domínio da primitiva tem restrições embora o integrando 1 /(1+ cos ^2 t ) não tenha restrições. Assim devemos ter cuidado em usar esse cálculo obtido simbolicamente usando recursos computacionais para calcular uma integral definida. No caso,
integral0^2 pi d t1+cos ^2 t=raiz2 pi
gamma é o caminho definido pelo quadrilátero A B C D tendo os vértices A=(1,0), B=(2,0), C=(3,4), D=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralgamma x,dy - y,dxx^2+y^2,
onde gamma é o quadrilátero fechado que passa por
A=(1,0)to B=(2,0)to C=(3,4)to D=(0,1)to A
O conteúdo envolve formas diferenciais em R^2setminus0 e a ideia de variação do ângulo polar theta.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x=rcostheta,;y=rsintheta.
Então
x,dy - y,dx = rcostheta;d(rsintheta)-rsintheta;d(rcostheta) = r^2,dtheta
e
x^2+y^2=r^2
Logo o integrando fica
x,dy - y,dxx^2+y^2 =r^2,dthetar^2 =dtheta
Isso significa que a integral é exatamente a variação total de theta ao percorrer gamma.

Passo 3

Como gamma é um caminho fechado em R^2setminus0 e o quadrilátero não envolve o ponto (0,0), o ângulo polar retorna ao valor inicial sem completar volta em torno da origem. Em outras palavras, o número de voltas (winding number) de gamma em torno de 0 é zero, portanto a variação total de theta é zero.

Resposta

0

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