\hline 1) & Calcule, usando o método dos anéis circulares, o volume formado pela do sólido gerado pela rotação em torno do eixo-x dos gráficos das funções:
y=x^{2} \text { e } y=x+2 . & (VALO \

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo- x a região limitada pelas curvas \,y=x^2 e \,y=x+2. O método dos anéis circulares (washers) diz que
V = \pi \int_{a}^{b} \bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] \,dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o interno, e a,b os pontos de interseção.

Passo 2

As curvas se intersectam quando
x^2 = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2\;\text{ou}\;x = -1.
Logo, integraremos de x=-1 até x=2.

Passo 3

Num dado x\in[-1,2] tem-se \,x+2\ge x^2. Assim o raio externo é
R(x) = x + 2,
e o interno é
r(x) = x^2.

Passo 4

Podemos então escrever
V = \pi \int_{-1}^{2} \bigl[(x+2)^2 - (x^2)^2\bigr] \,dx = \pi \int_{-1}^{2} \bigl(x^2 + 4x + 4 - x^4\bigr)\,dx.

Passo 5

Calculamos a antiderivada de x^2 + 4x + 4 - x^4:
\int \bigl(x^2 + 4x + 4 - x^4\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x - \frac{x^5}{5}.
Avaliando de -1 a 2 obtemos
\left[\frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x - \frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{2} = \frac{184}{15} - \bigl(-\tfrac{32}{15}\bigr) = \frac{216}{15} = \frac{72}{5}.

Passo 6

Multiplicando por \pi vem o volume final.

Resposta

V = \frac{72\pi}{5}.

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