Calcule a integral de linha do vetor ao longo da trajetória fechada determinada pelo círculo de raio 2 centrado na origem e contido no plano cuja normal é o vetor .
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
e é o círculo de raio centrado na origem, contido no plano
cuja normal orientadora é .
Como é fechado, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha a uma integral de superfície.
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes,
onde é a região do disco plano limitado por e é o versor normal de que segue a orientação dada por .
Passo 3
Calcular o rotacional de :
Passo 4
O versor normal à superfície é
hat n=vec n|vec n|=(1,1,1)raiz1^2+1^2+1^2 =(1,1,1)raiz3
Passo 5
Como nablatimesvec F é constante e S é um disco de raio 2, sua área é
Area(S)=picdot2^2=4pi
Então
(nablatimesvec F)cdothat n =(-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3 =-3raiz3=-raiz3
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integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS =l(-raiz3r)times4pi =-4piraiz3