Calcule a integral de linha do vetor F=y i+z j+x k ao longo da trajetória fechada determinada pelo círculo de raio 2 centrado na origem e contido no plano cuja normal é o vetor i+j+k.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
ointC vec Fcdot dvec r
onde
vec F(x,y,z)=y,vec i+z,vec j+x,vec k
e C é o círculo de raio 2 centrado na origem, contido no plano
x+y+z=0
cuja normal orientadora é vec n=(1,1,1).
Como C é fechado, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona essa integral de linha a uma integral de superfície.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes,
ointC vec Fcdot dvec r ;=;integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS,
onde S é a região do disco plano limitado por C e hat n é o versor normal de S que segue a orientação dada por vec n=(1,1,1).

Passo 3

Calcular o rotacional de vec F:
nablatimesvec F = vec i & vec j & vec k partialx & partialy & partialz y & z & x =l(partialy x-partialz z,;partialz y-partialx x,;partialx z-partialy yr) =(-1,-1,-1)

Passo 4

O versor normal à superfície é
hat n=vec n|vec n|=(1,1,1)raiz1^2+1^2+1^2 =(1,1,1)raiz3

Passo 5

Como nablatimesvec F é constante e S é um disco de raio 2, sua área é
Area(S)=picdot2^2=4pi
Então
(nablatimesvec F)cdothat n =(-1,-1,-1)cdot(1,1,1)raiz3 =-3raiz3=-raiz3
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integral duplaS(nablatimesvec F)cdothat n,dS =l(-raiz3r)times4pi =-4piraiz3

Resposta

ointC vec Fcdot dvec r=-4piraiz3

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