a. Provar que
.
b. Usando o item a., calcular
b. Usando o item a., calcular
Passo 1
A questão pede dois itens: no item a) provar a identidade das funções hiperbólicas
; no item b) usar essa identidade e outras propriedades para calcular o limite
. Vamos usar definições de
e
, manipulação algébrica e comportamento assintótico.
Passo 2
Definimos as funções hiperbólicas por
Para provar
, basta substituir e expandir:
Expandindo cada quadrado, obtemos
Logo a identidade está demonstrada.
Passo 3
Para o limite do item b), note que podemos usar a fatoração de diferença de cubos:
Sabemos também que
Então
Passo 4
Falta agora analisar esse somatório quando
. Para grandes
, temos
Logo cada termo é da ordem de
e
que cresce sem limite quando
.
Resposta
O limite diverge para +\infty.