a. Provar que cosh ^2 x-sinh ^2 x=1.
b. Usando o item a., calcular
lim x +infty e^x(cosh ^3 x-sinh ^3 x)

Passo 1

A questão pede dois itens: no item a) provar a identidade das funções hiperbólicas cosh^2 x - sinh^2 x = 1; no item b) usar essa identidade e outras propriedades para calcular o limite limxto+infty e^xl(cosh^3 x - sinh^3 xr). Vamos usar definições de cosh x e sinh x, manipulação algébrica e comportamento assintótico.

Passo 2

Definimos as funções hiperbólicas por
cosh x = e^x + e^-x2,
sinh x = e^x - e^-x2
Para provar cosh^2 x - sinh^2 x = 1, basta substituir e expandir:
cosh^2 x - sinh^2 x = l(e^x + e^-x2r)^2 - l(e^x - e^-x2r)^2
Expandindo cada quadrado, obtemos
e^2x + 2 + e^-2x4 - e^2x - 2 + e^-2x4 = 44 = 1
Logo a identidade está demonstrada.

Passo 3

Para o limite do item b), note que podemos usar a fatoração de diferença de cubos:
cosh^3 x - sinh^3 x = (cosh x - sinh x)l(cosh^2 x + cosh x,sinh x + sinh^2 xr)
Sabemos também que
cosh x - sinh x = e^x + e^-x2 - e^x - e^-x2 = e^-x
Então
e^xl(cosh^3 x - sinh^3 xr) = e^x cdot e^-x l(cosh^2 x + cosh x,sinh x + sinh^2 xr) = cosh^2 x + cosh x,sinh x + sinh^2 x

Passo 4

Falta agora analisar esse somatório quando xto+infty. Para grandes x, temos
cosh x approx e^x2,
sinh x approx e^x2
Logo cada termo é da ordem de e^2x/4 e
cosh^2 x + cosh x,sinh x + sinh^2 x approx e^2x4 + e^2x4 + e^2x4 = 3e^2x4,
que cresce sem limite quando xto+infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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