Calcule a integral de f ao longo da curva C, onde f e C são especificados em cada caso:
f(z)=|z|, C=z=r e^i theta: 0 <= theta <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Aqui, a gente precisa calcular a integral de uma função f(z) = |z| ao longo de uma curva C . A curva C é definida por z = r e^i theta onde theta varia de 0 a pi . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de integrais no plano complexo, parametrização de curvas e como trabalhar com números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C . A equação z = r e^i theta é a forma polar de um número complexo, onde r é o raio (ou módulo) e theta é o ângulo (ou argumento). Conforme theta varia de 0 a pi , z descreve um semicírculo no plano complexo com raio r .

Passo 3

Agora, vamos expressar a integral integralC f(z) , dz . Substituindo f(z) = |z| na integral, temos:
integralC |z| , dz
Como estamos na curva C , onde |z| = r , a integral fica:
integralC r , dz

Passo 4

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva C em termos de theta . Sabemos que z = r e^i theta , então derivando em relação a theta :
dzdtheta = i r e^i theta
Portanto, dz = i r e^i theta , dtheta .

Passo 5

Agora, substituímos dz na integral:
integral0^pi r cdot i r e^i theta , dtheta = i r^2 integral0^pi e^i theta , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral integral0^pi e^i theta , dtheta . A integral de e^i theta em relação a theta é:
integral e^i theta , dtheta = e^i thetai + C
Aplicando os limites de integração:
[ e^i thetai ]0^pi = e^i pi - e^i 0i = -1 - 1i = -2i
Lembrando que 1i = -i , então:
-2i = 2i

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
i r^2 cdot 2i = i cdot 2i cdot r^2 = 2i^2 r^2
Sabemos que i^2 = -1 , então:
2i^2 r^2 = 2(-1) r^2 = -2 r^2

Resposta

A integral de f(z) = |z| ao longo da curva C é igual a -2 r^2 .
integralC |z| , dz = -2 r^2

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