Calcule a integral de
ao longo da curva
, onde
e
são especificados em cada caso:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral passo a passo! Aqui, a gente precisa calcular a integral de uma função
ao longo de uma curva
. A curva
é definida por
onde
varia de 0 a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de integrais no plano complexo, parametrização de curvas e como trabalhar com números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
é a forma polar de um número complexo, onde
é o raio (ou módulo) e
é o ângulo (ou argumento). Conforme
varia de 0 a
,
descreve um semicírculo no plano complexo com raio
.
Passo 3
Agora, vamos expressar a integral
. Substituindo
na integral, temos:
Como estamos na curva
, onde
, a integral fica:
Passo 4
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
em termos de
. Sabemos que
, então derivando em relação a
:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral de
ao longo da curva
é igual a
.