Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n(ln n)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1n(ln n)
converge ou diverge.
O conteúdo principal é o Teste da Integral para séries de termos positivos, e vamos precisar verificar a convergência da integral imprópria correspondente.

Passo 2

Antes de aplicar o teste, notamos que o termo para n=1 não está definido ( ln1=0). Portanto, estudamos a convergência da série a partir de n=2, isto é,
sumn=2^infty1nln n

Passo 3

Pelo Teste da Integral, consideramos a função f(x)=1/(xln x) em x>=2. Essa função é contínua, positiva e estritamente decrescente em [2,infty). Então a convergência da série é equivalente à convergência da integral imprópria
integral2^inftydxxln x

Passo 4

Para avaliar
integral2^inftydxxln x,
fazemos a substituição t=ln x, de modo que dt=dx/x. Quando x=2, t=ln2; e quando xtoinfty, ttoinfty. A integral fica
integralln2^inftydtt
Mas sabemos que
integralln2^inftydtt=limTtoinfty[ln t]t=ln2^t=T =limTtoinfty(ln T-ln(ln2))=infty,
ou seja, diverge.

Passo 5

Como a integral diverge, o Teste da Integral diz que a série
sumn=2^infty1nln n
também diverge. Logo, a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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