Prove que se n for inteiro e C uma curva fechada envolvendo a origem uma vez no sentido antihorário, então
ointC z^n d z=0 se n neq-1 e ointC d zz=2 pi i

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se n é um número inteiro e C é uma curva fechada que envolve a origem uma vez no sentido antihorário, então:
ointC z^n , dz = 0 se n neq -1 e ointC dzz = 2pi i
Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno em Análise Complexa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Cauchy e entender como integrais sobre curvas fechadas funcionam quando a função é ou não analítica dentro da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função f(z) é analítica em uma região se ela é diferenciável em cada ponto dessa região. Isso é importante porque o Teorema de Cauchy nos diz que se f(z) é analítica dentro e sobre uma curva fechada C , então:
ointC f(z) , dz = 0
Então, se conseguirmos mostrar que z^n é analítica dentro de C para n neq -1 , a integral será zero.

Passo 3

Vamos analisar a função z^n . Quando n é um inteiro diferente de -1, z^n é simplesmente um polinômio (se n é positivo) ou uma função racional sem singularidades dentro de C (se n é negativo, mas maior que -1). Portanto, z^n é analítica em toda a região envolvida por C .

Passo 4

Como z^n é analítica dentro e sobre a curva C para n neq -1 , pelo Teorema de Cauchy, a integral:
ointC z^n , dz = 0
Isso confirma a primeira parte da afirmação.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso especial quando n = -1 . A função se torna:
1z
Essa função não é analítica em z = 0 porque tem uma singularidade ali (um pólo simples). Nesse caso, o Teorema de Cauchy não se aplica diretamente, mas usamos o Teorema dos Resíduos. O resíduo de 1z em z = 0 é 1.
Aplicando o teorema:
ointC dzz = 2pi i times (resíduo em z=0) = 2pi i times 1 = 2pi i í

Resposta

Portanto, mostramos que:
ointC z^n , dz = 0 se n neq -1 e ointC dzz = 2pi i

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