Prove que se
for inteiro e
uma curva fechada envolvendo a origem uma vez no sentido antihorário, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se
é um número inteiro e
é uma curva fechada que envolve a origem uma vez no sentido antihorário, então:
Aqui, estamos trabalhando com integrais de contorno em Análise Complexa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Cauchy e entender como integrais sobre curvas fechadas funcionam quando a função é ou não analítica dentro da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função analítica. Uma função
é analítica em uma região se ela é diferenciável em cada ponto dessa região. Isso é importante porque o Teorema de Cauchy nos diz que se
é analítica dentro e sobre uma curva fechada
, então:
Então, se conseguirmos mostrar que
é analítica dentro de
para
, a integral será zero.
Passo 3
Vamos analisar a função
. Quando
é um inteiro diferente de
,
é simplesmente um polinômio (se
é positivo) ou uma função racional sem singularidades dentro de
(se
é negativo, mas maior que
). Portanto,
é analítica em toda a região envolvida por
.
Passo 4
Como
é analítica dentro e sobre a curva
para
, pelo Teorema de Cauchy, a integral:
Isso confirma a primeira parte da afirmação.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso especial quando
. A função se torna:
Essa função não é analítica em
porque tem uma singularidade ali (um pólo simples). Nesse caso, o Teorema de Cauchy não se aplica diretamente, mas usamos o Teorema dos Resíduos. O resíduo de
em
é 1.
Aplicando o teorema:
Resposta
Portanto, mostramos que: