Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty 1n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty 1n^2+1.
Trata-se de uma série de termos positivos; vamos usar o teste de comparação com a série-p.

Passo 2

Note que, para todo n>=1, vale
n^2 <= n^2+1,
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1n^2+1 <= 1n^2

Passo 3

Recordando o teste da série-p:
sumn=1^infty 1n^p
converge exatamente quando p>1. No nosso caso p=2, e sabemos que
sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 4

Pelo teste da comparação, como
0 <= 1n^2+1 <= 1n^2
e sum 1/n^2 converge, concluímos que
sumn=1^infty 1n^2+1
também converge.

Resposta

A série converge.

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