Calcule a integral de f ao longo da curva C, onde f e C são especificados em cada caso:
f(z)=y-x^2, ao longo do segmento da origem ao ponto (2,0), seguido do segmento de (2,0) a (2,1); depois ao longo de (0,0) a (0,1), seguido do segmento de (0,1) a (2,1). Verifique que os resultados s^sim ao diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral da função f(z) = y - x^2 ao longo de uma curva C que é formada por vários segmentos de reta. Vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e parametrização de curvas. Basicamente, vamos dividir a curva em partes mais simples, calcular a integral em cada parte e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os segmentos que compõem a curva C :
  1. Do ponto (0,0) até (2,0) .
  2. De (2,0) até (2,1) .
  3. De (0,0) até (0,1) .
  4. De (0,1) até (2,1) .
Cada um desses segmentos será parametrizado de forma independente.

Passo 3

Segmento 1: [(0,0)) até
Vamos parametrizar esse segmento usando um parâmetro que varia de 0 a 1:
O diferencial de arcada é constante, temos:
Então,
Agora, substituindo na integral:

Passo 4

Segmento 2: [(2,0)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Calculando os diferenciais:
Então,
Integral:

Passo 5

Segmento 3: [(0,0)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Diferenciais:
Logo,
Integral:

Passo 6

Segmento 4: [(0,1)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Diferenciais:
Então,
Integral:

Resposta

Somando as integrais de todos os segmentos:
-83 + (-72) + 12 + (-23) = -83 - 72 + 12 - 23 = -103 - 3 = -193
Então, a integral de f ao longo da curva C é -193 .

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