Calcule a integral de
ao longo da curva
, onde
e
são especificados em cada caso:
, ao longo do segmento da origem ao ponto
, seguido do segmento de
a
; depois ao longo de
a
, seguido do segmento de
a
. Verifique que os resultados
ao diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral da função
ao longo de uma curva
que é formada por vários segmentos de reta. Vamos precisar usar conceitos de integrais de linha e parametrização de curvas. Basicamente, vamos dividir a curva em partes mais simples, calcular a integral em cada parte e depois somar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os segmentos que compõem a curva
:
- Do ponto
até . - De
até . - De
até . - De
até .
Cada um desses segmentos será parametrizado de forma independente.
Passo 3
Segmento 1: [(0,0)) até
Vamos parametrizar esse segmento usando um parâmetro
que varia de 0 a 1:
O diferencial de arcada é constante, temos:
Então,
Agora, substituindo na integral:
Passo 4
Segmento 2: [(2,0)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Calculando os diferenciais:
Então,
Integral:
Passo 5
Segmento 3: [(0,0)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Diferenciais:
Logo,
Integral:
Passo 6
Segmento 4: [(0,1)) até
Parametrização:
Com (t] de 0 a 1. Diferenciais:
Então,
Integral:
Resposta
Somando as integrais de todos os segmentos:
Então, a integral de
ao longo da curva
é
.