Determine a derivada da função dd y integral3^y^2 2 xx^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa achar a derivada em relação a $ y $ da função que é uma integral definida: $ \frac{d}{d y} \int_{3}{y{2}} \frac{2x}{x^{2}+9} , dx $. Para isso, vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo diz. Ele nos mostra como derivar uma integral definida quando o limite superior é uma função de $ y $. Basicamente, se temos $ \int_{a}^{g(y)} f(x) , dx $, a derivada em relação a $ y $ é $ f(g(y)) \cdot g’(y) $.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é $ f(x) = \frac{2x}{x^{2}+9} $ e o limite superior é $ g(y) = y^{2} $. Então, vamos aplicar o teorema:
f(x) = 2xx^2+9

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de $ g(y) = y^{2} $. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $. Então, substituindo de volta na expressão:
g(y) = y^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
2 cdot y^2 cdot 2yy^4 + 9 = 4y^3y^4 + 9

Resposta

A derivada da função dada é $ \frac{4y{3}}{y{4} + 9} $.

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