Determine a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa achar a derivada em relação a $ y $ da função que é uma integral definida: $ \frac{d}{d y} \int_{3}{y{2}} \frac{2x}{x^{2}+9} , dx $. Para isso, vamos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo diz. Ele nos mostra como derivar uma integral definida quando o limite superior é uma função de $ y $. Basicamente, se temos $ \int_{a}^{g(y)} f(x) , dx $, a derivada em relação a $ y $ é $ f(g(y)) \cdot g’(y) $.
Passo 3
No nosso caso, a função dentro da integral é $ f(x) = \frac{2x}{x^{2}+9} $ e o limite superior é $ g(y) = y^{2} $. Então, vamos aplicar o teorema:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ g(y) = y^{2} $. A derivada de $ y^{2} $ em relação a $ y $ é $ 2y $. Então, substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Resposta
A derivada da função dada é $ \frac{4y{3}}{y{4} + 9} $.