Determine a seguinte integral indefinida, utilizando fraçōes parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Frações Parciais, uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar. Vamos precisar identificar os fatores do denominador e determinar os coeficientes dessas frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fatores do denominador:
-
(de grau 1) -
(de grau 2, ou seja, repetido duas vezes) -
(polinômio de segundo grau que não pode ser fatorado com números reais) -
(polinômio de segundo grau repetido três vezes)
Cada um desses fatores vai ter sua própria fração parcial associada.
Passo 3
Agora, vamos montar a decomposição em frações parciais. Para cada fator, criamos uma expressão diferente:
Cada letra representa um coeficiente que precisamos achar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador original para eliminar as frações:
Esse passo vai gerar um polinômio gigante, mas nosso objetivo é igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau para encontrar os valores de
.
Passo 5
Para simplificar, escolhemos valores estratégicos de
que tornam algumas partes da equação zero, facilitando a resolução:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Para os outros coeficientes, como
, precisamos comparar os coeficientes dos termos correspondentes ou usar sistemas de equações. Esse processo envolve um pouco de álgebra, mas seguindo os mesmos princípios, conseguimos resolver cada um deles.
Passo 7
Após encontrar todos os coeficientes, substituímos na nossa decomposição original:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Cada integral é mais simples e usa fórmulas básicas de integração, como logaritmos e funções arctan para polinômios quadráticos.
Resposta
Após decompor em frações parciais e integrar cada termo, a integral é:
Onde
é a constante de integração. Os valores específicos dos coeficientes adicionais dependem dos cálculos detalhados realizados nos passos anteriores.