Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
significa
elevado ao cubo. Para integrar essa função, é útil reescrever
de uma forma que facilite a integração. Podemos usar a identidade trigonométrica:
E sabemos que
pode ser reescrita usando a identidade
. Então:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
Assim, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar agora:
Onde
é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites.
Passo 6
Substituímos
de volta na expressão integrada:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
até
.
Passo 7
Primeiro, para
:
Então:
Em seguida, para
:
Então:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.