Calcule as seguintes integrais:
integralp / 4^pi / 2 sen^3(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin^3(2x) de pi4 até pi2. Essa é uma questão de Cálculo, mais especificamente sobre integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sin^3(2x) significa sin(2x) elevado ao cubo. Para integrar essa função, é útil reescrever sin^3(2x) de uma forma que facilite a integração. Podemos usar a identidade trigonométrica:
sin^3(2x) = sin^2(2x) cdot sin(2x)
E sabemos que sin^2(2x) pode ser reescrita usando a identidade sin^2(a) = 1 - cos^2(a). Então:
sin^3(2x) = (1 - cos^2(2x)) cdot sin(2x)

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = cos(2x)
Assim, a derivada de u em relação a x é:
du = -2 sin(2x) dx Rightarrow sin(2x) dx = -12 du

Passo 4

Substituindo u e du na integral original:
integralpi4^pi2 sin^3(2x) dx = integralpi4^pi2 (1 - u^2) cdot (-12) du
Isso simplifica para:
-12 integral (1 - u^2) du

Passo 5

Vamos integrar agora:
-12 ( integral 1 , du - integral u^2 , du ) = -12 ( u - u^33 ) + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular os valores nos limites.

Passo 6

Substituímos u = cos(2x) de volta na expressão integrada:
-12 ( cos(2x) - cos^3(2x)3 )
Agora, vamos avaliar essa expressão de pi4 até pi2.

Passo 7

Primeiro, para x = pi2:
cos(2 cdot pi2) = cos(pi) = -1
Então:
-12 ( -1 - (-1)^33 ) = -12 ( -1 + 13 ) = -12 ( -23 ) = 13
Em seguida, para x = pi4:
cos(2 cdot pi4) = cos(pi2) = 0
Então:
-12 ( 0 - 0^33 ) = 0

Resposta

Portanto, o valor da integral integralpi4^pi2 sin^3(2x) dx é 13.

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