Calcule a integral
por meio de coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o disco de raio 1 de
em
usando coordenadas polares. Vamos usar o fato de que o domínio é dado por
e que já conhecemos a troca
.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
,
, com
variando de 0 a 1 e
de 0 a
. Então o elemento de área fica
.
Substituímos na integral:
Substituímos na integral:
Agora precisamos calcular a integral radial
.
Passo 3
Para a integral em
fazemos a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
. Assim:
Passo 4
Agora voltamos à integral em
:
Portanto, o valor da integral é
.