Calcule a integral
por meio de coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o disco de raio 1 de 2(1+x^2+y^2)^2 em R^2 usando coordenadas polares. Vamos usar o fato de que o domínio é dado por x^2+y^2<=1 e que já conhecemos a troca dx,dy=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos x=rcostheta, y=rsintheta, com r variando de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi. Então o elemento de área fica dx,dy=r,dr,dtheta.
Substituímos na integral:
integral duplax^2+y^2<=1 2(1+x^2+y^2)^2,dx,dy = integral0^2pi integral0^1 2(1+r^2)^2 ,r,dr,dtheta
Agora precisamos calcular a integral radial integral0^1 2r(1+r^2)^2 ,dr.

Passo 3

Para a integral em r fazemos a substituição u=1+r^2, então du=2r,dr. Quando r=0, u=1; quando r=1, u=2. Assim:
integral0^1 2r(1+r^2)^2 ,dr = integralu=1^2 u^-2 ,du = l[-u^-1r]1^2 = -tfrac12 + 1 = tfrac12

Passo 4

Agora voltamos à integral em theta:
integral0^2pi 12 ,dtheta = 12 times 2pi = pi
Portanto, o valor da integral é pi.

Resposta

pi

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