Esboce o conjunto
do plano
e determine a fronteira em cada caso. Classifique se
é aberto, fechado, limitado ou compacto.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa desenhar o conjunto
no plano
, descobrir qual é a sua fronteira e ver se esse conjunto é aberto, fechado, limitado ou compacto. Para isso, vamos usar conceitos de conjuntos abertos e fechados, fronteiras, e as definições de limitado e compacto na análise de conjuntos no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o conjunto
. O conjunto é definido por
. Isso significa que
inclui todos os pontos do plano onde a coordenada
é maior ou igual a zero. Então, no plano cartesiano, isso corresponde a toda a semiplano superior, incluindo a própria linha do eixo
(onde
).
Passo 3
Agora, vamos determinar a fronteira de
. A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde você pode se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto. No nosso caso, a fronteira será justamente o eixo
, porque é onde
. Nessa linha, qualquer ponto pode ser tocado por pontos de
(com
) e por pontos fora de
(com
).
Passo 4
Vamos classificar o conjunto
:
- Aberto ou Fechado: Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira, e fechado se inclui. Como
inclui todos os pontos onde , ele inclui a fronteira (o eixo ). Portanto, é fechado. - Limitado: Um conjunto é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como
se estende infinitamente para cima e para os lados, ele não é limitado. - Compacto: No plano, um conjunto é compato se ele é fechado e limitado. Já vimos que
é fechado, mas não é limitado, então não é compacto.
Resposta
A fronteira de
é o eixo
. O conjunto
é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.