Esboce o conjunto R do plano R^2 e determine a fronteira em cada caso. Classifique se R é aberto, fechado, limitado ou compacto.
R=(x, y) in R^2: y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá pedindo. A gente precisa desenhar o conjunto R no plano R^2 , descobrir qual é a sua fronteira e ver se esse conjunto é aberto, fechado, limitado ou compacto. Para isso, vamos usar conceitos de conjuntos abertos e fechados, fronteiras, e as definições de limitado e compacto na análise de conjuntos no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o conjunto R . O conjunto é definido por R = (x, y) in R^2 : y >= 0 . Isso significa que R inclui todos os pontos do plano onde a coordenada y é maior ou igual a zero. Então, no plano cartesiano, isso corresponde a toda a semiplano superior, incluindo a própria linha do eixo x (onde y = 0 ).

Passo 3

Agora, vamos determinar a fronteira de R . A fronteira de um conjunto é o conjunto de pontos onde você pode se aproximar tanto de dentro quanto de fora do conjunto. No nosso caso, a fronteira será justamente o eixo x , porque é onde y = 0 . Nessa linha, qualquer ponto pode ser tocado por pontos de R (com y > 0 ) e por pontos fora de R (com y < 0 ).

Passo 4

Vamos classificar o conjunto R :
  • Aberto ou Fechado: Um conjunto é aberto se não inclui sua fronteira, e fechado se inclui. Como R inclui todos os pontos onde y >= 0 , ele inclui a fronteira (o eixo x ). Portanto, R é fechado.
  • Limitado: Um conjunto é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. Como R se estende infinitamente para cima e para os lados, ele não é limitado.
  • Compacto: No plano, um conjunto é compato se ele é fechado e limitado. Já vimos que R é fechado, mas não é limitado, então R não é compacto.

Resposta

A fronteira de R é o eixo x . O conjunto R é fechado, não é limitado e, portanto, não é compacto.

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