Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
Passo 1
Temos a função
definida em todos os reais. Para estudar extremos locais usamos a primeira derivada e analisamos seu sinal; para pontos de inflexão usamos a segunda derivada e verificamos onde a concavidade muda.
Passo 2
Calculemos a primeira derivada usando regra do produto e da exponencial:
Igualando a zero, como
sempre, obtemos
Passo 3
Estudando o sinal de
:
- Para
, , logo (função crescente). - Para
, , logo (função decrescente).
Portanto ema função passa de crescente para decrescente, caracterizando um ponto de máximo local. O valor nesse ponto é
Passo 4
Agora a segunda derivada:
Igualando a zero:
Como
e o fator
é negativo, vemos:
- Se
, então e (concavidade para baixo). - Se
, então e (concavidade para cima).
Há, pois, mudança de concavidade em, caracterizando um ponto de inflexão. O valor de é
Resposta
Ponto de máximo local em
.
Não há ponto de mínimo local.
Ponto de inflexão em .
Não há ponto de mínimo local.
Ponto de inflexão em