Estude a existência de pontos de mínimos e máximos locais e pontos de inflexão das funções abaixo:
f(x)=x e^-2 x

Passo 1

Temos a função
f(x)=x,e^-2x,
definida em todos os reais. Para estudar extremos locais usamos a primeira derivada e analisamos seu sinal; para pontos de inflexão usamos a segunda derivada e verificamos onde a concavidade muda.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada usando regra do produto e da exponencial:
f'(x)=ddxl(xr),e^-2x+x,ddxl(e^-2xr) =e^-2x+xl(-2e^-2xr) =e^-2x(1-2x)
Igualando a zero, como e^-2x>0 sempre, obtemos
1-2x=0 Longrightarrow x=tfrac12

Passo 3

Estudando o sinal de f'(x)=e^-2x(1-2x):
  • Para x<tfrac12, 1-2x>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Para x>tfrac12, 1-2x<0, logo f'(x)<0 (função decrescente).
    Portanto em x=tfrac12 a função passa de crescente para decrescente, caracterizando um ponto de máximo local. O valor nesse ponto é
fl(tfrac12r) =tfrac12,e^-2cdot12 =tfrac12,e^-1 =e^-12

Passo 4

Agora a segunda derivada:
f''(x) =ddxl(e^-2x(1-2x)r) =-2e^-2x(1-2x)+e^-2x(-2) =-4e^-2x(1-x)
Igualando a zero:
1-x=0 Longrightarrow x=1
Como e^-2x>0 e o fator -4 é negativo, vemos:
  • Se x<1, então 1-x>0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
  • Se x>1, então 1-x<0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
    Há, pois, mudança de concavidade em x=1, caracterizando um ponto de inflexão. O valor de f é
f(1)=1cdot e^-2=e^-2

Resposta

Ponto de máximo local em l(tfrac12,tfrace^-12r).
Não há ponto de mínimo local.
Ponto de inflexão em l(1,e^-2r).

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