Sejam C a curva que é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano x+2 y+2 z=0, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima e F o campo vetorial dado por F=(y+2 z, x+2 z, x+2 y).
Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r; ou seja, calcule o trabalho de F ao longo de C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho do campo vetorial F = (y + 2z, , x + 2z, , x + 2y) ao longo da curva C, que é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 com o plano x + 2y + 2z = 0. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F (ou seja, nabla times F) e definir uma superfície adequada para aplicar o teorema.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre uma superfície S cuja borda é C. Em fórmula:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde n é o vetor normal à superfície S. Então, nosso objetivo é calcular o rotacional de F e depois fazer essa integral de superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, ou seja, nabla times F. Lembre-se que, para um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz), o rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, , partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, , partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Aplicando isso ao nosso campo F = (y + 2z, , x + 2z, , x + 2y), temos:
partial Fzpartial y = partialpartial y(x + 2y) = 2
partial Fypartial z = partialpartial z(x + 2z) = 2
partial Fxpartial z = partialpartial z(y + 2z) = 2
partial Fzpartial x = partialpartial x(x + 2y) = 1
partial Fypartial x = partialpartial x(x + 2z) = 1
partial Fxpartial y = partialpartial y(y + 2z) = 1
Então,
nabla times F = (2 - 2, , 2 - 1, , 1 - 1) = (0, , 1, , 0)

Passo 4

Agora que temos o rotacional nabla times F = (0, , 1, , 0), precisamos escolher uma superfície S cuja borda é a curva C. A superfície mais simples para escolher é a parte do plano x + 2y + 2z = 0 que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, já que essa é justamente a interseção que define a curva C.
Para aplicar o Teorema de Stokes, também precisamos determinar o vetor normal n à superfície S. O plano x + 2y + 2z = 0 tem como normal o vetor n = (1, 2, 2). Mas precisamos usar o vetor normal unitário, então vamos normalizar:
|n| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Portanto, o vetor normal unitário é:
n = ( 13, , 23, , 23 )

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional nabla times F e o vetor normal n:
(nabla times F) cdot n = (0, , 1, , 0) cdot ( 13, , 23, , 23 ) = 0 cdot 13 + 1 cdot 23 + 0 cdot 23 = 23
Esse valor será constante sobre toda a superfície S, já que tanto o rotacional quanto o vetor normal são constantes.

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS. Como (nabla times F) cdot n = 23 é constante, a integral fica:
integral duplaS 23 , dS = 23 integral duplaS dS = 23 times (área de S) á
Então, precisamos encontrar a área da superfície S, que é a parte do plano dentro da esfera.

Passo 7

Para encontrar a área da superfície S, que é a interseção do plano x + 2y + 2z = 0 com a esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1, vamos identificar que essa interseção é um círculo. A área de S será, então, a área desse círculo.
Vamos determinar o raio desse círculo. Sabemos que a equação do plano pode ser reescrita em termos de z:
z = -x + 2y2
Substituindo na equação da esfera:
x^2 + y^2 + ( -x + 2y2 )^2 = 1
x^2 + y^2 + (x + 2y)^24 = 1
Isso define um círculo na esfera. O raio r desse círculo pode ser encontrado sabendo que a distância do centro da esfera ao plano é zero (já que o plano passa pela origem), então o raio do círculo de interseção é igual ao raio da esfera, que é 1. Portanto, a área de S é:
Área de S = pi r^2 = pi times 1^2 = pi Á

Passo 8

Agora que sabemos que a área de S é pi, podemos voltar à nossa integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = 23 times pi = 2pi3

Resposta

O trabalho de F ao longo de C é dfrac2,pi3.

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