Sejam
a curva que é a interseção da esfera
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima e
o campo vetorial dado por
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
; ou seja, calcule o trabalho de
ao longo de
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho do campo vetorial
ao longo da curva
, que é a interseção da esfera
com o plano
. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira. Vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
(ou seja,
) e definir uma superfície adequada para aplicar o teorema.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Esse teorema nos diz que a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre uma superfície
cuja borda é
. Em fórmula:
Onde
é o vetor normal à superfície
. Então, nosso objetivo é calcular o rotacional de
e depois fazer essa integral de superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, ou seja,
. Lembre-se que, para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
Aplicando isso ao nosso campo
, temos:
Então,
Passo 4
Agora que temos o rotacional
, precisamos escolher uma superfície
cuja borda é a curva
. A superfície mais simples para escolher é a parte do plano
que está dentro da esfera
, já que essa é justamente a interseção que define a curva
.
Para aplicar o Teorema de Stokes, também precisamos determinar o vetor normal
à superfície
. O plano
tem como normal o vetor
. Mas precisamos usar o vetor normal unitário, então vamos normalizar:
Portanto, o vetor normal unitário é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o rotacional
e o vetor normal
:
Esse valor será constante sobre toda a superfície
, já que tanto o rotacional quanto o vetor normal são constantes.
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral de superfície
. Como
é constante, a integral fica:
Então, precisamos encontrar a área da superfície
, que é a parte do plano dentro da esfera.
Passo 7
Para encontrar a área da superfície
, que é a interseção do plano
com a esfera
, vamos identificar que essa interseção é um círculo. A área de
será, então, a área desse círculo.
Vamos determinar o raio desse círculo. Sabemos que a equação do plano pode ser reescrita em termos de
:
Substituindo na equação da esfera:
Isso define um círculo na esfera. O raio
desse círculo pode ser encontrado sabendo que a distância do centro da esfera ao plano é zero (já que o plano passa pela origem), então o raio do círculo de interseção é igual ao raio da esfera, que é
. Portanto, a área de
é:
Passo 8
Agora que sabemos que a área de
é
, podemos voltar à nossa integral de superfície:
Resposta
O trabalho de
ao longo de
é
.