Determine o ponto do plano x-2y+3z=6 que está mais próximo do ponto (0,0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
x - 2y + 3z = 6
e o ponto P=(0,0,1).
Queremos encontrar o ponto H desse plano que minimiza a distância até P, ou seja, a projeção ortogonal de P sobre o plano.

Passo 2

Seja n=(A,B,C) o vetor normal ao plano. Aqui
n=(1,-2,3)
A fórmula do pé da perpendicular H=(xH,yH,zH) de P=(x0,y0,z0) sobre o plano Ax+By+Cz=D é
H ;=; P ;-;A x0 + B y0 + C z0 - DA^2+B^2+C^2,n

Passo 3

Calculamos o numerador da fração:
A x0 + B y0 + C z0 - D =1cdot 0 +(-2)cdot 0 +3cdot 1 - 6 =3 - 6 =-3

Passo 4

O denominador é o quadrado da norma de n:
|n|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 5

O fator escalar é
A x0 + B y0 + C z0 - DA^2+B^2+C^2 =-314
Logo,
H = P - l(-tfrac314r),(1,-2,3) = P + tfrac314(1,-2,3)

Passo 6

Somando coordenada a coordenada em P=(0,0,1):
xH = 0 + tfrac314 = tfrac314, yH = 0 - tfrac614 = -tfrac37, zH = 1 + tfrac914 = tfrac2314

Resposta

l(tfrac314,, -tfrac37,, tfrac2314r)

Exercícios relacionados