Encontre uma aproximação linear da função f(x)=raiz[3]x em torno de x=-1 e use-a para estimar os valores de raiz[3]-0,96 e raiz[3]-1,29.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação linear da função em torno de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre aproximações lineares ou tangentes. Para isso, vamos precisar saber calcular a derivada da função e usar a fórmula da reta tangente para fazer uma estimativa dos valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a aproximação linear. A ideia é usar a reta tangente à função no ponto L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) para estimar valores próximos a . A fórmula da aproximação linear é:
Então, precisamos calcular e a derivada em .

Passo 3

Vamos calcular f(-1) = raiz[3]-1 = -1 :
f'(x) = 13x^-2/3 = 13 cdot 1raiz[3]x^2
Agora, vamos encontrar a derivada de . Podemos reescrever a função como e usar a regra de potência para derivar:

Passo 4

Agora, vamos calcular f'(-1) = 13 cdot 1raiz[3](-1)^2 = 13 cdot 1raiz[3]1 = 13 cdot 1 = 13 :

Passo 5

Com L(x) = -1 + 13(x - (-1)) = -1 + 13(x + 1) e L(x) = -1 + x3 + 13 = x3 - 23 , podemos montar a fórmula da reta tangente :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos usar L(-0,96) = -0,963 - 23 = -0,32 - 0,6667 approx -0,9867 para estimar L(-1,29) = -1,293 - 23 = -0,43 - 0,6667 approx -1,0967 e .
Para :
Para :

Resposta

A aproximação linear da função em torno de é . Usando essa aproximação:

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