Encontre uma aproximação linear da função
em torno de
e use-a para estimar os valores de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação linear da função
em torno de
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre aproximações lineares ou tangentes. Para isso, vamos precisar saber calcular a derivada da função e usar a fórmula da reta tangente para fazer uma estimativa dos valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a aproximação linear. A ideia é usar a reta tangente à função no ponto
para estimar valores próximos a
. A fórmula da aproximação linear é:
Então, precisamos calcular
e a derivada
em
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos encontrar a derivada de
. Podemos reescrever a função como
e usar a regra de potência para derivar:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Com
e
, podemos montar a fórmula da reta tangente
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos usar
para estimar
e
.
Para
:
Para
:
Resposta
A aproximação linear da função
em torno de
é
. Usando essa aproximação: